Научно-исследовательский семинар "Функциональный интеграл"

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Семенов Андрей Георгиевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 30

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Одним из мощнейших методов современной теоретической физики является метод функционального интегрирования или, интегрирования по траекториям. Основы данного подхода были заложены Н. Винером ещё в начале XX века, однако наибольшую известность он получил после того, как Р. Фейнман применил данный подход в квантовой механике. В настоящее время функциональный интеграл нашел своё применение в теории случайных процессов, физике полимеров, квантовой и статистической механике и даже в финансовой математике. Несмотря на то, что в ряде случаев его применимость математически строго пока не доказана, данный метод позволяет с удивительным изяществом получать точные и приближённые решения различных интересных задач. Курс посвящён основам данного подхода. На примере стохастических дифференциальных уравнений будут рассказаны основные идеи данного подхода, а так же различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов. Далее, в зависимости от интересов аудитории, будет рассказано о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др. При наличии времени будет дан обзор более продвинутых сюжетов в данной области, в том числе, интегрирование по грассмановым переменным, вычисление функциональных детерминантов операторов и др. Предварительная подготовка: базовые курсы анализа, ТФКП, теории вероятностей, классической механики. Желательно, но необязательно: классическая теория поля, статистическая механика, квантовая механика.

Цель освоения дисциплины

Освоение учащимися метода функционального интегрирования для решения математических и физических задач.
Получение учащимися практических навыков по вычислению функциональных интегралов некоторого вида.

Планируемые результаты обучения

На примере стохастических дифференциальных уравнений слушатели узнают основные идеи данного подхода, а также различные способы точного и приближённого вычисления функциональных интегралов, о различных применениях данного подхода, таких как физика полимеров, квантовая механика, финансовая математика и др.

Содержание учебной дисциплины

Стохастические дифференциальные уравнения и случайные процессы
Вероятность перехода и ее представление в виде функционального интеграла
Производящий функционал. Марковский и Гауссов случайные процессы
Вычисление простейших функциональных интегралов
Броуновское движение и Винеровский интеграл
Связь с уравнением Фоккера – Планка, исчислениями Ито и Стратоновича
Гауссовы функциональные интегралы и теорема Гельфанда – Яглома
Приближенное вычисление функционального интеграла
Применение функционального интеграла в квантовой механике, физике полимеров и финансовой математике
Дальнейшее развитие идей

Элементы контроля

Домашнее задание
Решение задач по теме курса

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.7 * Домашнее задание + 0.3 * Решение задач по теме курса

Программа дисциплины