2020/2021
Графы и топология
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Майнор
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Объекты, которым посвящен курс, - геометрической и топологической природы. Они универсальны и могут описывать совершенно разные объекты и явления реальной жизни. Графы используются в большинстве математических моделей, описывающих дискретные структуры с различными связями. Топология изучает наиболее принципиальные свойства реальных объектов, не зависящие от их описания в тех или иных координатах, и дает многочисленные выводы о существовании или несуществовании объектов или их подмножеств с заданными свойствами (как-то: о достижении экстремальных или предписанных значений функций и отображений, о неподвижных точках движений, о равновесных и стационарных решениях…) • Логический вывод и доказательства. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • Математика в объеме программы средней школы. • Язык конечных множеств и операций над ними.
Цель освоения дисциплины
- Освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.
- Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при исследовании графов в различных приложениях, возникающих в разнообразных дисциплинах, изучаемых слушателями майнора в рамках основных образовательных программ.
Планируемые результаты обучения
- В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
Содержание учебной дисциплины
- Определение графов, их типы, приложения и простейшие свойства. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
- Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
- Классификация, инварианты и перечисление графов.
- Плоские графы, препятствия к планарности, инварианты пространственных графов.
- Двудольные графы. Теорема Холла.
- Метрические пространства: примеры и свойства. Гомеоморфизм. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях.
- Большие и бесконечные графы, их асимптотические свойства.
- Индекс зацепления замкнутых кривых.
- Фундаментальная группа, классификация двумерных поверхностей, гомологии. Эйлерова характеристика.
- 10. Теоремы о неподвижных точках. Теорема о причесывании ежа. Основная теорема алгебры.
Элементы контроля
- Контрольная в середине
- Контрольная в конце
- Домашнее задание 1
- Домашнее задание 2
- Домашнее задание 3
- Домашнее задание 4
- Контрольная в середине
- Контрольная в конце
- Домашнее задание 1
- Домашнее задание 2
- Домашнее задание 3
- Домашнее задание 4
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Две промежуточные контрольные: в середине с весом 0.3 и в конце с весом 0.7; четыре домашних задания с весом 1.75, округление суммы до ближайшего целого (ровно n.5 округляется вниз до n), после всего берется минимум из полученного результата и 10.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Звонкин А.К., Ландо С.К. - Графы на поверхностях и их приложения - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 480с. - ISBN: 978-5-94057-588-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9342
Рекомендуемая дополнительная литература
- Прасолов В.В. - Наглядная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 112с. - ISBN: 978-5-4439-2055-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56410