Графы и топология

2023/2024

Статус: Майнор

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Сафонов Клим Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящен детальному знакомству с классическими конструкциями и объектами комбинаторной и дифференциальной топологии, которые широко применяются в качественной теории динамических систем. Теория графов, включенная в курс, играет двоякую роль. Во-первых, изучение топологических и гомотопических свойств графов является иллюстрацией многих явлений и фактов общей и гомотопической топологии. Во-вторых, в курсе показывается, как при помощи графов описывается динамика регулярных процессов. Курс не концентрируется на конкретной прикладной области, в которой графы и фракталы служат языком математического описания. Вместо этого, создается общая теоретическая база, необходимая или полезная для всех практических приложений.

Цель освоения дисциплины

Цель курса: освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.

Планируемые результаты обучения

В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.
Студент владеет терминологией, умеет изображать фазовый портреты простейших динамических систем, различает топологически неэквивалентные динамические системы.

Содержание учебной дисциплины

Определение графов, их типы, приложения и простейшие свойства. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
Классификация, инварианты и перечисление графов.
Плоские графы, препятствия к планарности, инварианты пространственных графов.
Двудольные графы. Теорема Холла.
Фундаментальная группа, классификация двумерных поверхностей, гомологии. Эйлерова характеристика.
Индекс зацепления замкнутых кривых.
10. Теоремы о неподвижных точках. Теорема о причесывании ежа. Основная теорема алгебры.
Графы как топологические инварианты структурно-устойчивых динамических систем на многообразиях.
Вводные понятия топологии

Элементы контроля

Домашняя контрольная работа
Домашняя контрольная работа

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 4 модуль
0.5 * Домашняя контрольная работа + 0.5 * Домашняя контрольная работа

Программа дисциплины