• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2022/2023

Математический анализ 2

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: с онлайн-курсом
Онлайн-часы: 20
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 8
Контактные часы: 150

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Значимую часть курса занимают ряды Фурье и преобразование Фурье. Второй семестр посвящен условным экстремумам, подмногообразиям в вещественном векторном пространстве, а также основам векторного и комплексного анализа.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория рядов, кратное интегрирование, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды и преобразование Фурье.
  • Формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье
  • Формирование умения решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска)
  • Ознакомление студентов с начальными теоретическими основами комплексного анализа и умение применять методы комплексного анализа в задачах интегрирования
  • Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы в процессе решения нестандартных задач повышенной сложности
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные свойства преобразования Фурье и уметь вычислять прямое и обратное преобразования Фурье от заданной функции
  • Знать основные системы координат (полярная, цилиндрическая, сферическая) и якобианы соответствующих замен координат
  • Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра
  • Знание условий Коши-Римана и умение проверять функцию комплексного переменного на дифференцируемость
  • Знать определение гладкого подмногообразия в R^n и его касательного пространства в точке
  • Знать определение грассмановой алгебры и дифференциальной формы k-го порядка на пространстве R^n
  • Знать основные свойства бета- и гамма-функции
  • Знать способы вычисления стандартных несобственных интегралов: интеграл Эйлера-Пуассона (гауссов интеграл), интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, формула Фруллани
  • Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
  • Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
  • Уметь вычислять дифференциал от заданной дифференциальной k-формы, и значение дифференциальной 1-формы на заданном касательном векторе
  • Уметь вычислять интегралы (от функции комплексного переменного) при помощи вычетов
  • Уметь вычислять кратные интегралы сведением к повторным
  • Уметь вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода
  • Уметь вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода
  • Уметь вычислять сложные кратные интегралы, пользуясь следствиями из формулы Стокса
  • Уметь вычислять суммы рядов, используя ряды Фурье и равенство Парсеваля
  • Уметь исследовать ряд на сходимость, абсолютную/условную сходимость
  • Уметь находить локальный экстремум дифференцируемой функции нескольких переменных, используя необходимые и достаточные условия
  • Уметь находить радиус сходимости степенного ряда
  • Уметь находить условный экстремум функции, используя метод множителей Лагранжа. Уметь использовать достаточное условие второго порядка для касательного пространства
  • Уметь раскладывать функцию в ряд Фурье на отрезке
  • Уметь суммировать числовые ряды, переходя к функциональным рядам
  • Уметь упрощать кратные интегралы переходом в более удобную систему координат
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Числовые ряды и бесконечные произведения
  • Функциональные последовательности и ряды
  • Ряды Фурье
  • Кратные интегралы
  • Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
  • Преобразование Фурье
  • Подмногообразия. Экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
  • Элементы векторного анализа и анализа дифференциальных форм
  • Начала теории функций комплексного переменного
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание 1
  • неблокирующий Коллоквиум 1
    Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. За ответ по билету студент может получить от 0 до 8 баллов. После ответа студенту дают доп.вопрос(ы) в виде теоретической задачи, за которую можно получить от 0 до 2 баллов. Тема: числовые и функциональные ряды
  • неблокирующий Коллоквиум 2
    Проходит так же, как и коллоквиум 1. Тема: интеграл Римана и кратные интегралы
  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Экзамен 1
    Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5 задач. Решение каждой задачи может быть оценено в 0, 1 или 2 балла.
  • неблокирующий Домашнее задание 2
  • неблокирующий Зачет 1
  • неблокирующий Зачет 2
    Проходит в письменной форме на последнем семинаре модуля. Включает только теоретические вопросы и задания (формулировки и доказательства) по списку, формируемому лектором. Темы — пройденные в текущем модуле. Письменная работа рассчитана на весь семинар. Максимальная оценка — 10 баллов.
  • неблокирующий Контрольная работа 2
    Проводится в начале 4-го модуля в письменном виде по темам 3-го модуля. Задачи вычислительного характера, по типам соответствуют материалам семинаров. Максимальная оценка — 10 баллов.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Предлагается 5 задач вычислительного характера по материалам семинаров 3-го и 4-го модулей. Решение каждой задачи может быть оценено в 0, 1 или 2 балла.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2022/2023 учебный год 2 модуль
    0.166 * Домашнее задание 1 + 0.25 * Экзамен 1 + 0.25 * Контрольная работа 1 + 0.168 * Коллоквиум 2 + 0.166 * Коллоквиум 1
  • 2022/2023 учебный год 4 модуль
    0.168 * Зачет 2 + 0.25 * Экзамен + 0.166 * Зачет 1 + 0.166 * Домашнее задание 2 + 0.25 * Контрольная работа 2
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003
  • Сборник задач по математическому анализу. Т. 2: Интегралы. Ряды, , 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009

Авторы

  • Мажуга Андрей Михайлович
  • Оруджева Альбина Александровна
  • Айзенберг Антон Андреевич