Линейная алгебра (углубленный курс)

Бакалавриат 2022/2023

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Бурмистрова Елена Борисовна

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Учебная дисциплина «Линейная алгебра» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: 1. Математический анализ 2. Микроэкономика 3. Макроэкономика 4. Теория вероятностей и математическая статистика 5. Эконометрика 6. Дифференциальные и разностные уравнения 7. Методы оптимальных решений В результате изучения дисциплины студент должен знать: точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений; общие теоремы о структуре множества решений систем линейных, уметь применять специальные методы построения таких решений; свойства основных числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции
Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям
Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Студент должен понять связь элементов точечного пространства с элементами соответствующего векторного пространства. Связь и различие понятий базиса векторного пространства и системы координат аффинного пространства. Уметь записывать уравнения линейных отображений, знать геометрические свойства таких отображений. Проверять свойства аффинности и изометричности отображения. Понимать свойства проекций на плоскость объектов трехмерного пространства
Студенты должны знать о взаимно однозначном соответствии симметричных билинейных форм и квадратичных форм, владеть навыком проверки знакоопределенности квадратичных форм с помощью главных миноров её матрицы. Знать закон инерции для квадратичных форм
Студенты должны знать о сходстве и различии свойств арифметических операций над числами и матрицами. Уметь записывать системы линейных уравнений в матричной форме. Знать критерий существования обратной матрицы, методы вычисления обратных матриц через матрицу алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований. Уметь записывать матрицы перехода
Студенты должны знать определение линейного оператора, уметь записывать матрицу линейного оператора в конечномерном пространстве, применять преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
Студенты должны знать определение собственные векторов и собственных значений линейного оператора, уметь вычислять их с помощью характеристического многочлена линейного оператора. Приводить матрицы линейного оператора к диагональному виду
Студенты должны знать различные определения ранга матрицы и теорему о равенстве всех таких числовых характеристик матриц. Уметь вычислять ранг матриц непосредственно через миноры матрицы и с помощью элементарных преобразований. Знать критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Свойства ранга и определителя произведения матриц
Студенты должны знать свойства самосопряженных операторов в евклидовом пространстве, их матриц, собственных векторов и собственных значений. Уметь представлять квадратичные формы в виде скалярного произведения $$\langle \varphi(x), x \rangle$$ с соответствующим самосопряженным оператором. Владеть навыком построения ортонормированного базиса, относительно которого квадратичная форма имеет канонический вид
Студенты должны освоить линейные элементы аналитической геометрии: свойства уравнений прямых (на плоскости и в пространстве) и уравнений плоскостей. Понимать как эти свойства связаны со свойствами векторов в соответствующих векторных пространствах. Уметь применять критерии параллельности и перпендикулярности прямых или плоскостей
Студенты должны уметь вычислять определитель разложением по строке или столбцу с учетом упрощения матрицы определителя с помощью элементарных преобразований. Знать приложение определителей для построения по координатам двух точек уравнения прямой, по координатам трех точек уравнения уравнения плоскости.
Студенты должны уметь вычислять угол между элементами евклидовых пространств. Вычислять ортогональную проекцию вектора на подпространство, строить ортонормированный базис ортогонализацией произвольного базиса. Знать свойства матрицы скалярного произведения в ортонормированном базисе и матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Уметь интерпретировать метод наименьших квадратов как построение ортогональной проекции.
Студенты должны уметь записывать системы линейных уравнений и описывать множества их решений в векторной форме. Применять ранг матриц системы и расширенной матрицы системы для исследования совместности системы и вычисления размерности пространства решений соответствующей однородной системы. Уметь выделять подходящий ненулевой минор в матрице системы для разделения неизвестных на главные и свободные
Студенты должны уметь находить размерность и базис конечномерного пространства, координаты вектора относительно заданного базиса.
Студенты должны уметь применять элементарные преобразования матриц для приведения матриц к ступенчатому виду. Описывать общее решение системы линейных уравнений, давать геометрическую интерпретацию таким системам и множеству их решений
Студенты должны уметь проверять является ли заданное множество с двумя операциями линейным пространством, исследовать линейную зависимость систем элементов линейного пространства.

Содержание учебной дисциплины

Преобразования матриц и системы линейных уравнений
Определитель
Ранг матрицы
Линейные операторы
Линейные пространства
Алгебра матриц
Структура множества решений системы линейных уравнений
Линейные, билинейные и квадратичные формы
Элементы аналитической геометрии
Евклидовы пространства
Самосопряженные операторы
Аффинные пространства

Элементы контроля

Домашнее задание №1 (ДЗ-1)
Домашнее задание №2 (ДЗ-2)
Домашнее задание №2 предназначено для освоения студентами следующих компонентов курса: 1. Определения основных понятий 1.1. Матрица линейного оператора. 1.2. Преобразование матрицы линейного оператора при за¬мене базиса. 1.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 1.4. Линейные, билинейные и квадратичные формы 1.5. Формула линейного функционала. 1.6. Матрица билинейной формы. 1.7. Матрица скалярного произве¬дения 1.8. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. 1.9. Матрица квадратичной формы. 1.10. Положительная определенность квадратичной формы. 1.11. Канонический вид квадра¬тичной формы. 1.12. Прямоугольная система координат на плоскости. 1.13. Деление отрезка в данном отношении. 1.14. Векторы. 1.14.1. Равенство векторов. 1.14.2. Координаты вектора. 1.14.3. Сложение век¬торов. 1.14.4. Умножение вектора на число. 1.14.5. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. 1.14.6. Скалярное произведение векторов. 1.14.7. Векторное произведение векторов. 1.14.8. Смешанное произведение векторов. 1.15. Общее уравнение плоскости. 1.16. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве. 1.17. Длина вектора и угол между векторами. 1.18. Ортогональность векторов. 1.19. Ортогональная проекция вектора на подпространство. 1.20. Ортонормированный базис. 1.21. Ортогональные матрицы. 2. Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры 2.1. Построение матрицы линейного оператора. 2.2. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. 2.3. Построение собственных векторов и собственных значений линейного оператора. 2.4. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. 2.5. Проверка положительной определенности квадратичной формы. 2.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. 2.7. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. 2.8. Построение координат вектора по координатам его крайних точек. 2.9. Построение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство. 2.10. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. 2.11. Вычисление площади треугольника и объема треугольной пирамиды при помощи векторного и смешанного произведения векторов. 2.12. Построение параметрического уравнения прямой в пространстве: по двум точкам и перпендикулярно данной плоскости через заданную точку. 2.13. Исследование взаимного положения прямой и плоскости. 2.14. Вычисление угла между векторами, угла между вектором и плоскостью, угла между плоскостями. 2.15. Построение уравнения плоскости по координатам трех ее точек. 2.16. Применение операций над векторами для вычисления координат точек: симметричных данной относительно заданной плоскости, симметричных данной относительно заданной прямой и некоторых других.
Контрольная работа №1 (Кр-1)
Контрольная работа № 1 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонентов курса: 1. Определения основных понятий 1.1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений 1.1.1. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. 1.1.2. Элементарные преобразования матриц. 1.1.3. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. 1.2. Определитель 1.3. Линейное пространство. 1.3.1. Подпространство линейного пространства. 1.3.2. Линейная оболочка системы векторов. 1.3.3. Линейно зависимые и независимые системы векторов. 1.3.4. Базис и координаты векторов. 1.3.5. Размерность линейного пространства. 1.4. Арифметические операции над матрицами 1.4.1. Сумма матриц. 1.4.2. Умножение матрицы на число. 1.4.3. Произведение матриц. 1.4.4. Обратная матрица 1.5. Матрица перехода. 1.6. Ранг матрицы 1.7. Фундаментальная система решений. 2. Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры 2.1. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. 2.2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. 2.3. Определитель и элементарные преобразования. 2.4. Вычисление определителя разложением по строке или по столбцу 2.5. Построение обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений. 2.6. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. 2.7. Вычисление координат векторов. 2.8. Построение базиса линейного пространства. 2.9. Вычисление размерности пространства. 2.10. Преобразование координат при замене базиса. 2.11. Вычисление ранга при помощи элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы. 2.12. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). 2.13. Исследование совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). 2.14. Построение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. 2.15. Построение множества решений системы линейных уравнений. 2.16. Выбор главных и свободных неизвестных
Контрольная работа №2 (Кр-2)
Контрольная работа № 2 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонентов курса: 1. Определения основных понятий 1.1. Матрица линейного оператора. 1.2. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. 1.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 1.4. Линейные, билинейные и квадратичные формы 1.5. Формула линейного функционала. 1.6. Матрица билинейной формы. 1.7. Матрица скалярного произведения 1.8. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. 1.9. Матрица квадратичной формы. 1.10. Положительная определенность квадратичной формы. 1.11. Канонический вид квадратичной формы. 1.12. Векторы. 1.12.1. Равенство векторов. 1.12.2. Координаты вектора. 1.12.3. Сложение векторов. 1.12.4. Умножение вектора на число. 1.12.5. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. 1.12.6. Скалярное произведение векторов. 1.12.7. Векторное произведение векторов. 1.12.8. Смешанное произведение векторов. 1.13. Длина вектора и угол между векторами. 1.14. Ортогональность векторов. 1.15. Ортогональная проекция вектора на подпространство. 1.16. Ортонормированный базис. 1.17. Ортогональные матрицы. 2. Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры 2.1. Построение матрицы линейного оператора. 2.2. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. 2.3. Построение собственных векторов и собственных значений линейного оператора. 2.4. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. 2.5. Проверка положительной определенности квадратичной формы. 2.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. 2.7. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. 2.8. Построение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство. 2.9. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса
Экзамен по курсу
Экзаменационная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. Сумма набранных на экзамене условных единиц находится в одном из промежутков вида [а,Ь) с границами 0,1.5, 3, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9, 9.5,10,5. Номер промежутка (число от 0 до 10) является оценкой.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 2 модуль
0.05 * Домашнее задание №2 (ДЗ-2) + 0.7 * Экзамен по курсу + 0.05 * Домашнее задание №1 (ДЗ-1) + 0.1 * Контрольная работа №2 (Кр-2) + 0.1 * Контрольная работа №1 (Кр-1)

Программа дисциплины