Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения

Бакалавриат 2022/2023

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Бизнес-информатика)

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Кто читает: Департамент бизнес-информатики

Где читается: Высшая школа бизнеса

Когда читается: 2-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Попов Виктор Юрьевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 30

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Случайные процессы — широко используемый набор инструментов для моделирования во многих прикладных областях: финансовой математике, макроэкономике, физике. Эволюции цен, диффузия, потоки заявок для обработки, путешествие пользователя по ресурсам сети Интернет &mdash;&mdash; это лишь малая часть явлений, которые с их помощью можно исследовать. В нашем курсе мы хотели бы, с одной стороны, предоставить хороший фундамент для дальнейшего более самостоятельного изучения специальных областей, а с другой &mdash;&mdash; предоставить несколько интересных примеров, как связать это знание с компьютером и научиться не только доказывать интересные факты, но и смело строить решения практических задач в виде программ.

Цель освоения дисциплины

Формирование представления о случайных процессах (СП) и стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ) и о применении их для решения задач финансового менеджмента, финансов, экономики.
Формирования понимания теоретических основ, допущений и ограничений теории СП и СДУ
Формирование навыков применения методов теории СП и СДУ для решения исследовательских и прикладных задач финансового менеджмента, финансов, экономики.
Формирования навыков анализа СП, финансовых временных рядов, СДУ и их решений
Формирование навыков оценки производных финансовых инструментов с использованием методов теории СП и СДУ

Планируемые результаты обучения

Использовать формулу Блэка-Шоулза и модель Блэка для оценки производных инструментов.
Знание элементов теории вероятностей и теории управляемых случайных процессов, используемых при построении и анализе прикладных стохастических моделей
Изучить понятие случайного блуждания
Уметь применять уравнение Блэка-Шоулза (постоянная волатильность)
Знакомство с основными свойствами винеровского процесса
Знать вывод уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, понимать его смысл и смысл начальных и граничных условий. Уметь находить некоторые решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для рассмотренных в курсе случаев.
Знать и понимать теорию случайного блуждания. Уметь решать задачу о разорении игрока. Знать и понимать процессы рождения и гибели, уметь выводить основные формулы. Знать и понимать процесс Пуссона
Знать основные понятия и свойства винеровского процесса и уметь применять их при решении теоретических и практических задач.
Знать основные понятия теории случайных процессов и уметь применять их при решении теоретических и практических задач.
Знать понятие стохастического дифференциального уравнения, основные типы стохастических дифференциальных уравнений курса , понимать их смысл. Знать методы их решений и уметь применять их для решения теоретических и практических задач. Уметь решать рассмотренные на занятиях и в процессе самостоятельно работы стохастические дифференциальные уравнения, в том числе при помощи численных методов.
Уметь выводить уравнение Блэка-Шоулза и понимать его смысл. Знать и понимать допущения модели Блэка-Шоулза. Уметь приводить уравнение Блэка – Шоулса к каноническому виду. Уметь находить решение уравнения Блэка-Шоулза. Знать и понимать смысл формулы Блэка – Шоулса. Знать, понимать и уметь использовать на практике методы оценки производных финансовых инструментов в модели Блэка – Шоулза и их арбитражные свойства. Знать модель стохастической волатильности.
Знать понятие интеграла Ито, его свойства. Уметь применять их при решении теоретических и практических задач.
Знать формулу Ито. Уметь применять ее при решении теоретических и практических задач. Уметь делать замены переменных в выражениях, содержащих стохастические слагаемые

Содержание учебной дисциплины

Знакомство со случайными процессами. Основные понятия
Винеровский процесс.
Интеграл Ито и его свойства
Формула Ито.
Стохастические дифференциальные уравнения
Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова.
Производные финансовые инструменты. Уравнение Блэка-Шоулза.
Задача о разорении.

Элементы контроля

Активность на лекциях и семинарах, самостоятельная работа.
Экзамен
Письменный экзамен в аудитории или онлайн (продолжительность написания экзаменационной работы - 120 минут
Посещение аудиторных и/или онлайн лекций и семинаров
Защита проекта по тематике дисциплины на предложенную и согласованную тему
Контрольная работа 1
Контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.1 * Контрольная работа 1 + 0.1 * Защита проекта по тематике дисциплины на предложенную и согласованную тему + 0.6 * Экзамен + 0.1 * Контрольная работа 2 + 0.05 * Активность на лекциях и семинарах, самостоятельная работа. + 0.05 * Посещение аудиторных и/или онлайн лекций и семинаров

Программа дисциплины