• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2022/2023

Алгебра (углубленный курс)

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 1-й курс, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 3
Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Цель курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первая половина лекций посвящена теории групп, вторая половина — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от одной или многих переменных однозначно раскладывается на простые множители и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знать основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля
  • Освоить алгоритмические аспекты современной алгебры
  • Уметь производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы при решении прикладных задач
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Изучить основные приложения изученного материала в криптографии и теории кодирования
  • Иметь навыки работы с конечными группами и конечными полями
  • Овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
  • Нормальные подгруппы, факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр- группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
  • Решетки и дискретные подгруппы в евклидовом пространстве. Конечные абелевы группы. Строение конечно порожденных абелевых групп. Приложения к задачам криптографии.
  • Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряженности.
  • Кольца, алгебры и поля. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты.
  • Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных.
  • Конечно порожденные и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
  • Элементарные симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Понятие о базисе Грёбнера идеала.
  • Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
  • Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Подполя конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Приложение конечных полей в теории кодирования.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
    Состоит из 5 листков по 4 задачи в каждом по теме “Группы” и из 4 листков по 5 задач в каждом по теме “Кольца и поля”. На решение каждого из листков отводится одна неделя. Решения проверяют учебные ассистенты, результаты проверки размещаются на вики-странице. За решение каждой из задач можно получить от 0 до 1 баллов. Набранное число баллов умножается на 1/4.
  • неблокирующий Контрольная работа
    Контрольная работа проводится письменно. Оценка за контрольную равна сумме баллов, полученных за каждую задачу. Разрешено использование непрограммируемых калькуляторов, использование других электронных устройств запрещено.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится в устной форме, в аудитории или на платформе Zoom. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2022/2023 учебный год 4 модуль
    0.5 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашнее задание
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Винберг, Э. Б. Курс алгебры : учебник / Э. Б. Винберг. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56396 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру : учебник : в 3 частях / А. И. Кострикин. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2020 — Часть I : Основы алгебры — 2020. — 271 с. — ISBN 978-5-4439-3264-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/146749 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Сборник задач по алгебре, учебник, под ред. А. И. Кострикина, 3-е изд., испр. и доп., 464 с., , 2001

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Алгебра, Варден, Б. Л. ван дер, 1979
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру : учебник : в 3 частях / А. И. Кострикин. — 3-е изд., стер. — Москва : МЦНМО, 2020 — Часть III : Основные структуры алгебры — 2020. — 271 с. — ISBN 978-5-4439-3266-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/146751 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Курош А.Г. - Курс высшей алгебры: учебник - Издательство "Лань" - 2020 - 432с. - ISBN: 978-5-8114-4871-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/126713

Авторы

  • Зайцева Юлия Ивановна
  • Аржанцев Иван Владимирович