Бакалавриат
2022/2023
Алгебра (углубленный курс)
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
1-й курс, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Цель курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первая половина лекций посвящена теории групп, вторая половина — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от одной или многих переменных однозначно раскладывается на простые множители и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.
Цель освоения дисциплины
- Знать основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля
- Освоить алгоритмические аспекты современной алгебры
- Уметь производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы при решении прикладных задач
Планируемые результаты обучения
- Изучить основные приложения изученного материала в криптографии и теории кодирования
- Иметь навыки работы с конечными группами и конечными полями
- Овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп
Содержание учебной дисциплины
- Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
- Нормальные подгруппы, факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр- группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
- Решетки и дискретные подгруппы в евклидовом пространстве. Конечные абелевы группы. Строение конечно порожденных абелевых групп. Приложения к задачам криптографии.
- Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряженности.
- Кольца, алгебры и поля. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Алгебра матриц над полем является центральной простой алгеброй. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты.
- Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных.
- Конечно порожденные и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
- Элементарные симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Понятие о базисе Грёбнера идеала.
- Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.
- Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Подполя конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Приложение конечных полей в теории кодирования.
Элементы контроля
- Домашнее заданиеСостоит из 5 листков по 4 задачи в каждом по теме “Группы” и из 4 листков по 5 задач в каждом по теме “Кольца и поля”. На решение каждого из листков отводится одна неделя. Решения проверяют учебные ассистенты, результаты проверки размещаются на вики-странице. За решение каждой из задач можно получить от 0 до 1 баллов. Набранное число баллов умножается на 1/4.
- Контрольная работаКонтрольная работа проводится письменно. Оценка за контрольную равна сумме баллов, полученных за каждую задачу. Разрешено использование непрограммируемых калькуляторов, использование других электронных устройств запрещено.
- ЭкзаменЭкзамен проводится в устной форме, в аудитории или на платформе Zoom. Каждый студент получает билет, состоящий из нескольких вопросов по программе курса. После ответа на вопросы преподаватель может задать дополнительные вопросы по программе курса и предложить теоретические задачи.
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 4 модуль0.5 * Экзамен + 0.2 * Контрольная работа + 0.3 * Домашнее задание
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Винберг, Э. Б. Курс алгебры : учебник / Э. Б. Винберг. — 2-е изд. — Москва : МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/56396 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Кострикин, А. И. Введение в алгебру : учебник : в 3 частях / А. И. Кострикин. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2020 — Часть I : Основы алгебры — 2020. — 271 с. — ISBN 978-5-4439-3264-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/146749 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Сборник задач по алгебре, учебник, под ред. А. И. Кострикина, 3-е изд., испр. и доп., 464 с., , 2001
Рекомендуемая дополнительная литература
- Алгебра, Варден, Б. Л. ван дер, 1979
- Кострикин, А. И. Введение в алгебру : учебник : в 3 частях / А. И. Кострикин. — 3-е изд., стер. — Москва : МЦНМО, 2020 — Часть III : Основные структуры алгебры — 2020. — 271 с. — ISBN 978-5-4439-3266-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/146751 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Курош А.Г. - Курс высшей алгебры: учебник - Издательство "Лань" - 2020 - 432с. - ISBN: 978-5-8114-4871-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/126713