Функциональный анализ

Бакалавриат 2023/2024

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Красовицкий Тихон Ильич, Султанов Азат Русланович, Шейпак Игорь Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Студенты ознакомятся с базовым курсом функционального анализа, в котором ознакомятся с бесконечномерными топологическими линейными пространствами и отображениями в них. Важными частным случаями являются нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Также будет рассказано о приложениях функционального анализа к теории дифференциальных уравнений, математической физике, квантовой механике, машинного обучения и в других областях.

Цель освоения дисциплины

Ознакомиться с общими основами теории метрических и нормированных пространств.
Узнать важность банаховых и гильбертовых пространств как с точки зрения фундаментального подхода, так и с точки зрения приложений.
Введение в теорию ограниченных операторов и функционалов в банаховых пространствах. Знакомство с теорией гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром (приложения к машинному обучению).

Планируемые результаты обучения

Введение в спектральную теорию операторов: вопросы разрешимости абстрактных уравнений, допускающих линейное толкования, вопросы устойчивости и аппроксимации решений.
Непрерывные операторы и функционалы в локально-выпуклых (полинормированных) пространствах. Введение в теорию обобщенных функций.
Преобразование Фурье и свертка в нормированных и полинормированных пространствах. Приложения к обработке изображений и звука.
Абстрактный подход к теории самосопряженных операторов.

Содержание учебной дисциплины

Метрические пространства. Свойства полных метрических пространств (принцип сжимающих отображений, теорема о замкнутых шарах, теорема Бэра).
Нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрического пространства.
Евклидовы пространства. Тождество параллелограмма. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортогональной проекции и ортогонального дополнения в гильбертовом пространстве.
Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Полные и замкнутые системы. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Лемма о почти перпендикуляре. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.
Критерий предкомпактности множества в пространствах lp. Критерий предкомпактности множества в пространстве C[a,b].
Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора. Непрерывные операторы. Пространство линейных ограниченных операторов.
Теорема Хана-Банаха и следствия из нее.
Теоремы об общем виде линейных непрерывных функционалов в пространствах c0, lp, Lp[0;1].
Теорема об общем виде линейного непрерывного функционала в C[a;b]. Теорема Рисса об общем виде функционала на гильбертовом пространстве.
Слабая и *-слабая сходимости. Сходимости в B(X,Y).
Сопряжённые операторы в банаховых и гильбертовых пространствах. Самосопряженные операторы. Ортогональные проекторы. Теорема Банаха--Штейнгауза. Слабо ограниченные множества.
Компактные операторы. Свойства компактных операторов.
Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Устойчивость обратимости операторов при малых возмущениях.
Спектр ограниченного оператора в банаховом пространстве. Классификация и основные свойства.
Теорема Гильберта--Шмидта (для сепарабельных гильбертовых пространств).
Теория Фредгольма. Спектр компактного оператора.
Полинормированные пространства. Пространства основных функций D, S, E. Сходимости и полунормы в них.
Обобщеные функции и операции с ними.
Преобразование Фурье.

Элементы контроля

Домашнее задание
Бонусы
Контрольная работа
Коллоквиум
Экзамен

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 4 модуль
Итог = Округление(0,7*Накоп + 0,3*Экз) Накоп=0,15*(БДЗ+Сем)+0,15*(Кр1+Кр2+Кр3)+0,2*(Коллок1+Коллок2), где БДЗ=среднее за большие домашние задания, СЕМ может равняться 0,1 или 2 и выставляется на усмотрение семинариста.

Программа дисциплины