Математический анализ (углубленный курс)

Бакалавриат 2023/2024

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Игнатьев Михаил Викторович, Красовицкий Тихон Ильич, Лобода Артем Александрович, Оноприенко Анастасия Александровна

Язык: русский

Кредиты: 10

Контактные часы: 164

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Математический анализ 1 - это фундаментальный курс, формирующих освоение студентами аппарата дифференциального и интегрального исчисления. Курс состоит из следующих основных тем: предел, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функций одной действительной переменной и дифференцируемость функций нескольких действительных переменных. Студенты узнают методы вычисления пределов последовательностей и функций, овладевают техникой дифференцирования и интегрирования, применяют эту технику к изучению формулы Тейлора и методов аппроксимации элементарных функций. На основе указанных методов приобретаются навыки исследования функций на экстремум, их асимптотического анализа и построения графиков. В рамках указанного курса приобретаются как практические навыки применения методов математического анализа, так и осваиваются теоретические понятия и методы доказательства теорем, играющие важную роль в общей математической культуре студентов. Рассматриваемые понятия и методы составляют основу большинства разделов высшей математики. На базе этого курса происходит дальнейшее изучение таких дисциплин как дифференциальные уравнения, вычислительные методы, теория вероятностей, машинное обучение, компьютерное зрение и других.

Цель освоения дисциплины

Владеть техникой вычисления пределов последовательностей и функций.
Владеть техникой дифференцирования.
Владеть техникой интегрирования.
Уметь применять понятие определённого интеграла к задачам геометрии.

Планируемые результаты обучения

владеть техникой качественного анализа функции и построения ее графика
знать определения основных понятий дифференциального и интегрального исчисления
знать формулировки и доказательства основных теорем и лемм курса. Владеть техникой дифференцирования функций нескольких переменных
уметь исследовать функцию нескольких переменных на экстремум и решать задачи, связанные с нахождением наибольших и наименьших значений

Содержание учебной дисциплины

Рациональные и действительные числа. Принцип полноты. Способы задания действительных чисел.
Построение вещественной прямой и некоторые множества на ней. Лемма о вложенных отрезках. Предел последовательности.
Свойства пределов последовательностей. Точная верхняя и точная нижняя грань.
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число е. Построение числа е с помощью ряда.
Критерий Коши существования предела последовательности. Понятие подпоследовательности. Частичные пределы.
Лемма Больцано – Вейерштрасса. Начальные сведения о числовых рядах. Критерий Коши для ряда. Необходимый признак сходимости.
Признак Даламбера и Коши. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряд Лейбница.
Определения предела функции по Коши и по Гейне и эквивалентность этих определений. Свойства пределов.
Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов. Критерий Коши существования предела функции.
Теорема Вейерштрасса для функций. Сравнение бесконечно малых. О-символика.
Непрерывные функции. Локальные свойства непрерывных функций. Разрывы функций. Классификация точек разрыва.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность функций. Теорема Гейне – Кантора. Непрерывность обратной функции.
Построение элементарных функций. Производная и дифференциал. Касательная к графику функции. Пример недифференцируемой функции.
Правила дифференцирования и таблица производных. Свойства дифференцируемых функций.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределённостей.
Производные высших порядков. Формула Лейбница. Локальная формула Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши, Лагранжа и Шлёмильха – Роша. Ряд Тейлора. Аналитические функции.

Элементы контроля

Домашнее задание
Простые задачи для тренировки, на неделю выдается обычно 4 – 6 задач. Готовится лектором и семинаристами. Выдаётся на неделю, после семинара. Студенты проставляют в таблички плюсы, если решили соответствующие задачи. На семинаре задачи могут быть разобраны, причём разбирают их те, кто отметил с помощью плюса, что решил. Каждая такая домашняя работа оценивается в первичные 10 баллов. Итоговая оценка за домашнее задание – это среднее арифметическое оценок за все такие маленькие домашние. При этом преподаватели и ассистенты в любой момент могут проверить домашние работы. В случае, если хотя бы один из плюсов поставлен, а задача не решена, аннулируются все плюсы, проставленные студентом до этого. Если у студента стоит плюс, но на семинаре он не смог у доски разобрать задачу, то плюсы также аннулируются.
Большое домашнее задание (БДЗ)
Три раза за семестр будет выдано домашнее задание из 7 – 10 задач (на последовательности, на непрерывность и на дифференцируемость).Задачи составляются лектором и семинаристами, каждый студент формирует свой вариант по указанной формуле, выбирая из списков задач выпавшие ему номера. Если вариант сгенерирован неверно, то домашнее задание оценивается в ноль баллов. Оценка за каждое домашнее задание составляет максимум 10 баллов, а оценка за этот элемент контроля – это среднее арифметическое всех оценок за большие домашние работы.
Коллоквиум
4 вопроса на формулировки, два вопроса на доказательства. Возможны дополнительные вопросы по курсу, если в ответах студента имеются недочёты. Принимается ассистентами, семинаристами и лектором. Возможны также дополнительные принимающие, каждый из которых предварительно осведомляется обо всех правилах приёма. Правильная формулировка даёт 1 балл, правильное доказательство позволяет получить 3 балла. Таким образом, можно получить максимум 10 баллов. Оценка за коллоквиум в итоговой формуле – это среднее арифметическое оценок за каждый коллоквиум. Коллоквиум может проводиться в аудитории или на платформе zoom.
Контрольная работа
Контрольная состоит из шести или семи задач. Задачи соответствуют темам семинарских занятий и похожи по типу на те, что обсуждались на семинарах. При этом, конечно, необходимо иногда применить комбинацию из нескольких подходов, обсуждавшихся на семинарах, где-то требуется нестандартный подход, однако никаких дополнительных знаний, кроме тех, что получены в ходе изучения соответствующих тем, не требуется. Готовится лектором и семинаристами. Пользоваться можно только чистыми листками и ручкой, ничем больше пользоваться нельзя. Каждая задача оценивается максимум в 2 балла, итоговая сумма конвертируется так, что максимум соответствует 10 итоговым баллам. Округление арифметическое. Проводится в аудитории или на платформе zoom.
Задачи со звёздочками
Выдаётся список задач повышенной сложности. Список выдаётся частями, задачи в каждой части соответствуют темам, которые проходятся (конечно, полной синхронизации с графиком прохождения тем не предполагается). Готовится лектором и семинаристами. Устанавливаются сроки сдачи и минимальное количество задач из выданной части списка. Полные решения необходимо отправить в указанные сроки (отправлять можно постепенно). Ассистент проверяет решения и указывает семинаристу группы, какие решения необходимо защитить. После этого необходимо защитить решения у семинариста. Работа оценивается в 10 баллов максимум. Баллы снимаются, если ассистент находит ошибки при проверке, если при защите выясняется, что решение студент не понимает или в процессе защиты, обнаруживаются ошибки. Защищать можно очно или в zoom.
Экзамен
Проводится письменно, состоит из 6 по темам, которые пройдены на лекциях и семинарах. Всё, что касается сложности задач, аналогично тому, что написано о контрольной работе. Экзамен проводит лектор и семинаристы. Каждая задача оценивается в 2 первичных балла, итоговая сумма конвертируется так, чтобы максимум соответствовал 10 баллам. Пользоваться можно только ручкой и листками, никакое списывание или использование дополнительных материалов не допускается. Проводится в аудитории или на платформе zoom.

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 2 модуль
O1 сем = min{8; 0,01* ОДЗ + 0,2*ОБДЗ + 0,15*(Околл1 + Околл2 )+ 0,24*Окр + 0,25*Оэкз} + 0,2*Озвездочки • Одз -- средняя оценка за домашние работы, округление арифметическое; • ОБДЗ – средняя оценка за БДЗ, округление арифметическое; • Озвездочки -- средняя оценка оценка за "звездочки", округление арифметическое; • Околл1 и Околл2 – средняя оценка за коллоквиумы, округление обсуждается отдельно; • Окр -- оценка за контрольную, округление обсуждается отдельно; • Оэкз -- оценка за экзамен, округление обсуждается отдельно. Обратите внимание, что, не решая звёздочки, вы можете получить за курс максимум 8 баллов. При этом есть дополнительные требования. Балл, который даёт часть формулы 0,01* ОДЗ + 0,2*ОБДЗ + 0,15*(Околл1 + Околл2 )+ 0,24*Окр + 0,25*Оэкз назовём НАКОП. Если НАКОП больше или равен 6, то звёздочки в итоговую формулу войдут с весом 0, 2. Если НАКОП больше или равен 5, но строго меньше 6, то звёздочки войдут в итоговую формулу с весом 0, 1, то есть тогда последнее слагаемое в формуле оценки за семестр равно будет равно 0,1*Oзвездочки. Если НАКОП строго меньше 5, то оценки за звёздочки аннулируются и в итоговую оценку вклада не дают.
2023/2024 учебный год 4 модуль
O1 сем = min{8; 0,01*Одз + 0,2*ОБДЗ + 0,15*(Околл1 + *Околл2) + 0,24*Окр + 0,25*Оэкз} + 0,2*Oзвездочки. Одз - средняя оценка за домашние работы, округление арифметическое; ОБДЗ - средняя оценка за большие домашние задания, округление арифметическое; Околл1 и *Околл2 - оценки за коллоквиум1 и коллоквиум2, округление обсуждается отдельно; Окр - оценка за контрольную1, округление обсуждается отдельно; Оэкз - оценка за экзамен, округление обсуждается отдельно. Обратите внимание, что, не решая звёздочки, вы можете получить за курс максимум 8 баллов. При этом есть дополнительные требования. Балл, который даёт часть формулы 0,01*Одз + 0,2*ОБДЗ + 0,15*(Околл1 + *Околл2) + 0,24*Окр + 0,25*Оэкз назовём НАКОП. Если НАКОП больше или равен 6, то звёздочки в итоговую формулу войдут с весом 0, 2. Если НАКОП больше или равен 5, но строго меньше 6, то звёздочки войдут в итоговую формулу с весом 0, 1, то есть тогда последнее слагаемое в формуле оценки за семестр равно будет равно 0,1*Oзвездочки. Если НАКОП строго меньше 5, то оценки за звёздочки аннулируются и в итоговую оценку вклада не дают.

Программа дисциплины