Линейная алгебра (углубленный курс)

Бакалавриат 2023/2024

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Бурмистрова Елена Борисовна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Учебная дисциплина «Линейная алгебра» не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: 1. Математический анализ 2. Микроэкономика 3. Макроэкономика 4. Теория вероятностей и математическая статистика 5. Эконометрика 6. Дифференциальные и разностные уравнения 7. Методы оптимальных решений В результате изучения дисциплины студент должен знать: точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений; общие теоремы о структуре множества решений систем линейных, уметь применять специальные методы построения таких решений; свойства основных числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов.

Цель освоения дисциплины

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями
Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции
Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям
Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа
Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

Планируемые результаты обучения

Студент должен понять связь элементов точечного пространства с элементами соответствующего векторного пространства. Связь и различие понятий базиса векторного пространства и системы координат аффинного пространства. Уметь записывать уравнения линейных отображений, знать геометрические свойства таких отображений. Проверять свойства аффинности и изометричности отображения. Понимать свойства проекций на плоскость объектов трехмерного пространства
Студенты должны знать о взаимно однозначном соответствии симметричных билинейных форм и квадратичных форм, владеть навыком проверки знакоопределенности квадратичных форм с помощью главных миноров её матрицы. Знать закон инерции для квадратичных форм
Студенты должны знать о сходстве и различии свойств арифметических операций над числами и матрицами. Уметь записывать системы линейных уравнений в матричной форме. Знать критерий существования обратной матрицы, методы вычисления обратных матриц через матрицу алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований. Уметь записывать матрицы перехода
Студенты должны знать определение линейного оператора, уметь записывать матрицу линейного оператора в конечномерном пространстве, применять преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса
Студенты должны знать определение собственные векторов и собственных значений линейного оператора, уметь вычислять их с помощью характеристического многочлена линейного оператора. Приводить матрицы линейного оператора к диагональному виду
Студенты должны знать различные определения ранга матрицы и теорему о равенстве всех таких числовых характеристик матриц. Уметь вычислять ранг матриц непосредственно через миноры матрицы и с помощью элементарных преобразований. Знать критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Свойства ранга и определителя произведения матриц
Студенты должны знать свойства самосопряженных операторов в евклидовом пространстве, их матриц, собственных векторов и собственных значений. Уметь представлять квадратичные формы в виде скалярного произведения $$\langle \varphi(x), x \rangle$$ с соответствующим самосопряженным оператором. Владеть навыком построения ортонормированного базиса, относительно которого квадратичная форма имеет канонический вид
Студенты должны освоить линейные элементы аналитической геометрии: свойства уравнений прямых (на плоскости и в пространстве) и уравнений плоскостей. Понимать как эти свойства связаны со свойствами векторов в соответствующих векторных пространствах. Уметь применять критерии параллельности и перпендикулярности прямых или плоскостей
Студенты должны уметь вычислять определитель разложением по строке или столбцу с учетом упрощения матрицы определителя с помощью элементарных преобразований. Знать приложение определителей для построения по координатам двух точек уравнения прямой, по координатам трех точек уравнения уравнения плоскости.
Студенты должны уметь вычислять угол между элементами евклидовых пространств. Вычислять ортогональную проекцию вектора на подпространство, строить ортонормированный базис ортогонализацией произвольного базиса. Знать свойства матрицы скалярного произведения в ортонормированном базисе и матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Уметь интерпретировать метод наименьших квадратов как построение ортогональной проекции.
Студенты должны уметь записывать системы линейных уравнений и описывать множества их решений в векторной форме. Применять ранг матриц системы и расширенной матрицы системы для исследования совместности системы и вычисления размерности пространства решений соответствующей однородной системы. Уметь выделять подходящий ненулевой минор в матрице системы для разделения неизвестных на главные и свободные
Студенты должны уметь находить размерность и базис конечномерного пространства, координаты вектора относительно заданного базиса.
Студенты должны уметь применять элементарные преобразования матриц для приведения матриц к ступенчатому виду. Описывать общее решение системы линейных уравнений, давать геометрическую интерпретацию таким системам и множеству их решений
Студенты должны уметь проверять является ли заданное множество с двумя операциями линейным пространством, исследовать линейную зависимость систем элементов линейного пространства.

Содержание учебной дисциплины

Преобразования матриц и системы линейных уравнений
Определитель
Ранг матрицы
Линейные операторы
Линейные пространства
Алгебра матриц
Структура множества решений системы линейных уравнений
Линейные, билинейные и квадратичные формы
Элементы аналитической геометрии
Евклидовы пространства
Самосопряженные операторы
Аффинные пространства

Элементы контроля

Контрольная работа №1
Контрольная работа №1 состоит из 7 заданий. По решению задач 1,2,3,4 определяется оценка за Кр1, а по решению задач 5,6,7 можно получить "бонус": за успешное решение любой из этих задач Кр соответствующая задача экзамена считается полностью решенной. Для активизации бонуса необходимо набрать за Кр1 не менее 6 единиц. При этом за успешное решение каждой из задач 1, 4 выставляется 2 балла, за успешное решение каждой из задач 2, 3 выставляется оценка 3 балла.
Контрольная работа №2
Контрольная работа №2 состоит из трех заданий, последнее из которых имеет шесть компонентов. Полное решение заданий или компонентов оценивается в условных единицах как 1;1;2;2;2;0,5;0,5 соответственно. В случае неполного решения оценка может дробиться. Первичное количество условных единиц (N), полученное студентом на контрольной работе, переводится в итоговую десятибалльную оценку по правилу: N=0 - 0 0<N<1,5 - 1 1,5≤N<3 - 2 3≤N<4,5 - 3 4,5≤N<5,5 - 4 5,5≤N<6 - 5 6≤N<7 - 6 7≤N<8 - 7 8≤N<9 - 8 9≤N<9,5 - 9 9,5≤N≤10 - 10. Если итоговая оценка ≥6, то студент освобождается от решения задачи экзамена с номером 10 (получает заранее условную единицу за задачу).
Домашнее задание №1
Домашнее задание №1 состоит из восьми заданий. Полное решение заданий 2,3 оценивается в две условные единицы, а остальных заданий - в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. Сумма условных единиц, полученная студентом за домашнее задание, переводится в итоговую десятибалльную оценку по обычным правилам округления.
Домашнее задание №2
Домашнее задание №2 состоит из двух групп заданий. Полное решение всех заданий первой группы оценивается в 5,5 условных единиц (1.1[0,2], 1.2[0,5], 1.3[0,3], 1.4[5]). Полное решение всех заданий второй группы оценивается в 4,5 условных единиц (2.1[1], 2.2а[0,5], 2.2б[1], 2.3[0,5],2.4а[0,5], 2.4б[1]). В случае неполного решения оценка может дробиться. Сумма условных единиц, полученная студентом за домашнее задание, переводится в итоговую десятибалльную оценку по обычным правилам округления.
Экзаменационная работа
Экзаменационная работа состоит из 10 заданий. Полное правильное решение каждого задания оценивается в одну условную единицу. В случае неполного решения оценка может дробиться. Сумма условных единиц (N), полученная студентом на экзамене, переводится в итоговую десятибалльную оценку по правилу: N=0 - 0 0<N<1,5 - 1 1,5≤N<3 - 2 3≤N<4,5 - 3 4,5≤N<5,5 - 4 5,5≤N<6 - 5 6≤N<7 - 6 7≤N<8 - 7 8≤N<9 - 8 9≤N<9,5 - 9 9,5≤N≤10 - 10.

Промежуточная аттестация

2023/2024 учебный год 2 модуль
0.05 * Домашнее задание №1 + 0.05 * Домашнее задание №2 + 0.1 * Контрольная работа №1 + 0.1 * Контрольная работа №2 + 0.7 * Экзаменационная работа

Программа дисциплины