• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2023/2024

Стохастический анализ

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 80

Программа дисциплины

Аннотация

Случайные процессы возникают в тот момент, когда одних случайных величин становится недостаточно. Цены на бирже, процентные ставки, как и некоторые физические явления: диффузия, взаимодействие огромного числа частиц -- демонстрируют, что нужен более общий взгляд, учитывающий также изменения случайных величин во времени. С другой стороны, можно попробовать внести случайность и обыкновенные дифференциальные уравнения станут стохастическими. На таких уравнениях строится почти вся финансовая математика, но особенный новый интерес стохастические дифференциальные уравнения приобрели несколько лет назад, положив начало диффузионным моделям, известным многим под вывеской Midjourney и StableDiffusion. Этот курс для тех, кто знаком с теорией вероятности и базовыми математическими дисциплинами и хотел бы пойти дальше, не забывая о практической стороне. Первая половина курса будет посвящена теории случайных процессов и центральными примерами для нас будут гауссовские процессы, цепи Маркова, Винеровский, Пуассоновский и связанные с ними процессы. Вторая часть представит стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения в контексте нескольких практических задач.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Уметь использовать формулу Ито и другие формулы из теории стохастических интегралов.
  • Уметь применять теорию стохастических дифференциальных уравнений для решения задач оценивания процессов, предсказания и фильтрации.
  • Знать и уметь применять на практике основные приёмы работы со стохастическими диффузиями.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные приёмы констурирования случайных процессов.
  • Уметь проводить базовое исследования случайных процессов с помощью распределений и ковариационных функций
  • Знать и уметь применять и оценивать модели на основе Винеровского процесса.
  • Знание и умение применения и оценивания модели на основе Винеровского процесса.
  • Знать и уметь применять и оценивать модели на основе цепей Маркова и Марковских процессов.
  • Знать основные факты и уметь применять на практике приёмы из области мартингалов
  • Знать основные модели на основе стохастических дифференциальных уравнений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Случайные процессы, определения и конструкции.
  • Винеровский процесс.
  • Процессы на основе Винеровского.
  • Цепи Маркова.
  • Пуассоновские процессы.
  • Мартингалы.
  • Процессы Леви.
  • Интеграл Ито, конструкция и свойства.
  • Приёмы вычисления интеграла Ито.
  • Стохастические дифференциальные уравнения.
  • Задача фильтрации для стохастических дифференциальных уравнений.
  • Задача фильтрации для стохастических дифференциальных уравнений (2).
  • Марковские процессы, диффузии, основные понятия.
  • Диффузии, уравнения Колмогорова, Фоккера-Планка.
  • Инвариантные распределения, обратимость диффузий.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание 1
    Выдаётся постепенно до лекции 3 по материалам пройденного с дедлайном на лекции 4, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
  • неблокирующий Домашнее задание 2
    Выдаётся постепенно примерно после лекции 4 по материалам пройденного и с дедлайном на лекции 8, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
  • неблокирующий Домашнее задание 3
    Выдаётся постепенно примерно после лекции 10 по материалам пройденного и с дедлайном лекции 14, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
  • неблокирующий Домашнее задание 4
    Выдаётся постепенно примерно после лекции 14 по материалам пройденного и с дедлайном на лекции 16 на 2 недели, включает в себя теоретические задачи и практические задания в python ноутбуке. Оценивается из 100 баллов. Допускается сдача в течение недели после дедлайна со штрафом 30%, далее решения не принимаются.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится в устной форме. Студенту даётся теоретический билет и задача, время на подготовку 40 минут, в это время можно пользоваться всем. После этого студент обсуждает билет и задачу с принимающим, который также может задать дополнительные вопросы, на которые студент должен ответить с ходу без подготовки, дополнительного времени не предоставляется. Ответ студента оценивается в целом по шкале от 0 до 10 баллов.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2023/2024 4th module
    Итог = Округление(0.6 * ДЗ + 0.4 * Э), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Э — оценка за экзамен.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Bernt Øksendal. (2010). Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications (Vol. 6th ed. 2003). Springer.
  • Булинский, А. В. Теория случайных процессов/БулинскийА.В., ШиряевА.Н. - Москва : Физматлит, 2005. - 400 с.: ISBN 978-5-9221-0335-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/544606
  • Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., 2000
  • Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики : монография : в 2 томах / А. Н. Ширяев. — Москва : МЦНМО, [б. г.]. — Том 1 : Факты, модели — 2016. — 440 с. — ISBN 978-5-4439-2391-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/80132 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики : монография : в 2 томах / А. Н. Ширяев. — Москва : МЦНМО, [б. г.]. — Том 2 : Теория — 2016. — 464 с. — ISBN 978-5-4439-2392-2. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/80133 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Коралов, Л. Б. Теория вероятностей и случайные процессы / Л. Б. Коралов, Я. Г. Синай , под редакцией Б. М. Гуревича , перевод с английского Э. В. Переходцевой. — Москва : МЦНМО, 2014. — 408 с. — ISBN 978-5-4439-2073-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

  • Кононова Елизавета Дмитриевна