Бакалавриат 2023/2024

Комплексный анализ

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Владыкина Вероника Евгеньевна, Платонова Ксения Сергеевна, Чанга Марис Евгеньевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 80

Программа дисциплины

Аннотация

Комплексный анализ посвящен изучению свойств функций комплексного переменного. Оказывается, что в отличии от функции действительного переменного, которые даже обладая довольно «хорошими» свойствами вроде дифференцируемости, могут все же вести себя довольно «плохо», для функций комплексного переменного условие дифференцируемости в некоторой окрестности оказывается довольно жестким и влечет множество приятных последствий вроде бесконечной дифференцируемости и разложения в степенной ряд. Кроме того, комплексный анализ предлагает очень простые способы вычисления несобственных интегралов, для нахождения которых в курсе математического анализа приходилось прибегать к нетривиальным трюкам вроде изучения равномерной сходимости и дифференцирования по параметру. Инструменты комплексного анализа широко применяются при решении задач математической физики и механики.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории функций комплексного переменного и ее приложений.
• 1. Владеть арифметическими операциями над комплексными числами, уметь вычислять простейшие функции от комплексного числа.
• 2.Уметь проверять функцию на C-дифференцируемость и голоморфность. Восстанавливать голоморфную функцию по ее действительной части.
• 3. Находить образ заданной области под действием конформного отображения. Строить конформное отображение, обладающее заданными свойствами.
• 4. Вычислять интеграл вдоль пути явно с помощью параметризации пути и с помощью теоремы Ньютона-Лейбница
• 5. Вычислять интеграл по замкнутому контуру с помощью теории вычетов
• 6. Вычислять несобственные интегралы с помощью теории вычетов

Планируемые результаты обучения

• Раскладывать голоморфную функцию в ряд Лорана.
• Использовать теорему Руше для нахождения числа нулей функции в области.
• Владение теорией голоморфных функций: связь между интегральной теоремой Коши, голоморфностью в области и разложением ряд Тейлора.
• Владение теорией вычетов: классификация изолированных особых точек, разложение функции в ряд Лорана, связь между этими понятиями.
• Представление о геометрических принципах для голоморфных функций: сохранение области, принцип максимума, теорема Римана.

Содержание учебной дисциплины

• Поле комплексных чисел. Арифметические операции. Полярный вид числа. Стереографическая проекция. Метрика на C. Расширенная комплексная плоскость.
• Путь, кривая, область на плоскости. Функция комплексной переменной. Построение комплексной экспоненты. R-дифференцируемость и C-дифференцируемость. Условие Коши-Римана. Голоморфность в точке и в области.
• Конформные отображения. Свойства конформных отображений. Геометрический смысл дифференциала. Линейные отображения. Дробно-линейные отображения (ДЛО): конформность, групповое свойство, разложение в композицию элементарных отображений
• ДЛО: круговое свойство, свойство симметрии, правило трех точек, автоморфизмы единичного круга
• Интеграл вдоль пути и его свойства. Лемма Гурса.
• Первообразная в области. Теорема о существование первообразной в круге. Первообразная вдоль пути. Существование первообразной вдоль пути. Теорема Ньютона-Лейбница
• Гомотопные пути. Теорема о монодромии. Существование первообразной в односвязной области.
• Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши (ИФК). Теорема о среднем.
• Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Формула Коши-Адамара. Голоморфность суммы степенного ряда. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. ИФК для производных.
• Теорема Мореры. Три эквивалентных определения голоморфной функции. Связь голоморфных и гармонических функций.
• Порядок нуля голоморфной функции. Теорема единственности. Теорема Вейерштрасса. Теорема Рунге.
• Ряд Лорана для функции, голоморфной в кольце. Теорема о сходимости ряда Лорана. Неравенства Коши.
• Изолированные особые точки (ИОТ) и их связь с рядом Лорана. Теорема Сохоцкого. Большая теорема Пикара.
• Целые функции, мероморфные функции. Малая теорема Пикара.
• Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Лемма Жордана.
• Логарифмический вычет. Его связь с количеством нулей и полюсов функции в области. Ln z и Arg z как непрерывные функции вдоль пути. Принцип аргумента. Теорема Руше.
• Геометрические принципы: принцип сохранения области, критерий локальной однолистности, принцип максимума модуля.
• Лемма Шварца. Автоморфизмы единичного круга. Теорема Римана.

Элементы контроля

• Домашнее задание
• Самостоятельная работа
• Контрольная работа
• Коллоквиум
• Экзамен

Промежуточная аттестация

• 2023/2024 4th module
  Итог = Округление(0.1 * ДЗ + 0.1 * СР + 0.2*КР1+0.2*КР2+0.2*Кол +0.2*Экз), где ДЗ = 10*MIN(N/12;1), где N-количество закрытых в семестре домашних заданий, СР – сумма баллов за самостоятельные, КРj – сумма баллов за j-ю контрольную работу, Кол – сумма баллов за коллоквиум, Экз – сумма баллов за экзамен.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в комплексный анализ : учеб. пособие, Шабат, Б. В., 1969
• Лекции по теории функций комплексного переменного, Сидоров, Ю. В., 1976
• Сборник задач по теории аналитических функций : учеб. пособие для вузов, Евграфов, М. А., 1972
• Функции комплексного переменного : задачи и примеры с подробными решениями: учеб. пособие для вузов, Краснов, М. Л., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сборник задач по теории функций комплексного переменного : учебное пособие, Шабунин, М. И., 2011