• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2024/2025

Гладкие многообразия

Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 4-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина “Гладкие многообразия” посвящена аналитическим и геометрическим аспектом теории гладких многообразий. В результате прохождения курса студенты должны владеть понятиями, изучаемыми в курсе, а также применять их для выполнения операций анализа функций, заданных на многообразии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение аналитических и геометрических аспектов теории гладких многообразий.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм в R^n и на поверхностях в R^n. Знакомство с конструкцией разбиения единицы.
  • Знакомство с определением и базовыми свойствами дифференциальных форм на многообразиях. Знакомство с интегрированием дифференциальных форм.
  • Знакомство с определением и основными свойствами когомологий де Рама и доказательством их гомотопической инвариантности. Знакомство с леммой Пуанкаре и ее доказательством.
  • Знакомство с определением и свойствами производной Ли и дифференциальных идеалов.
  • Знакомство с определением многообразий с краем. Знакомство с формулой Стокса и ее следствиями.
  • Знакомство с определением многообразий с помощью атласов, подмногообразий и морфизмов многообразий.
  • Знакомство с тремя определениями касательного вектора. Знакомство с определением дифференциала отображения, векторных полей, касательного расслоения, коммутаторов векторных полей.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Кривые и поверхности в R^n
  • Определение многообразия
  • Касательные пространства и векторные поля
  • Дифференциальные формы на R^n
  • Дифференциальные формы на многообразиях
  • Формула Стокса
  • Когомологии де Рама
  • Производная Ли
  • Векторные расслоения. Тензоры
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий КР 1
  • неблокирующий КР 2
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2024/2025 2nd module
    1 * КР 1
  • 2024/2025 4th module
    1 * КР 2
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015
  • Математический анализ. Т. 2: ., Зорич, В. А., 2015

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля : учебное пособие / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. — Москва : МЦНМО, 2005. — 584 с. — ISBN 978-5-94057-102-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9379 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
  • Современные геометрические структуры и поля, Новиков, С. П., 2005

Авторы

  • Хорошкин Сергей Михайлович
  • Шварцман Осип Владимирович
  • Басалаев Алексей Андреевич