Бакалавриат
2024/2025
Линейная алгебра и геометрия (углубленный курс)
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
10
Контактные часы:
136
Программа дисциплины
Аннотация
Линейная алгебра является базовым инструментом используемым наравне с математическим анализом во всех прикладных дисциплинах. Курс развивает абстрактное математическое мышление с одной стороны и знакомит с мощными инструментами, применяемыми в машинном обучении, обработке сигналов и других областях компьютерных наук.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с основами линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры
- Формирование у студентов навыков структурного математического мышления (на котором сейчас базируются все парадигмы языков программирования)
- Формирование у студентов навыков использования линейной алгебры прикладных задачах, в томчисле экономических, геометрических, задачах обработки сигналов и особенно возникающих в задачах анализа данных и в компьютерных науках
Планируемые результаты обучения
- Знать альтернативу Фредгольма
- Знать геометрический смысл индексов инерции
- Знать геометрическую интерпретацию кратности корня минимального и характеристического многочленов
- Знать две конструкции для поля комплексных чисел
- Знать двойственность для подпространств для невырожденной билинейной формы
- Знать доказательство алгебраической замкнутости поля комплексных чисел
- Знать и уметь выполнять все матричные оператции
- Знать какие характеристики матрицы билинейной формы зависят от базиса, а какие нет
- Знать классификацию СЛУ..........................
- Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторных пространств в разных парах базисов
- Знать когда две матрицы задают одно и то же линейное отображение между двух векторых пространств в разных парах базисов
- Знать критерий невырожденности матриц
- Знать лемму о стабилизации для линейных операторов
- Знать неравенства на ранги суммы и произведения матриц
- Знать определение векторного пространства, умение привести примеры векторных пространств
- Знать определение и уметь находить спектр матрицы
- Знать определение и формулы для вычисления векторного произведения
- Знать определение матричной нормы
- Знать определение перестановок и уметь совершать все операции с ними
- Знать определение проективного пространства, подпространства и гиперповерхности
- Знать определение репера и уметь пересчитывать координаты вектора в разных реперах
- Знать определение ядра и образа линейного отображения и связь их размерностей
- Знать понятие комплексификации и связи характеристик оператора при комплексификации
- Знать применение проективных преобразований для реализации z-буффера в 3D движках
- Знать пять определений рангов матрицы и уметь доказывать их эквивалентность
- Знать связь инвариантных подпространств с углом нулей в матрице оператора
- Знать способы вычисления размеров клеток в ЖНФ по матрице оператора
- Знать три определения для определителя: (1) явная формула, (2) через полилинейные свойства, (3) через умножение матриц
- Знать утверждение о том, сколько каких многообразий проходит через k+1 точку
- Знать формулировку теоремы о вещественной ЖНФ
- Знать формулу для проектора и ортопроектора
- Знать формулы для вычисления объема и ориентированного объема
- Знать формулы для смешенного произведения и его связь с векторным произведением
- Знать явную формулу для обратной матрицы
- Знать, когда существует скалярное произведение, чтобы заданный оператор стал движением или самосопряженным
- Умение находить блочную структуру матрицы линейного отображения связанную с разложением пространств в прямую сумму
- Уметь выражать матричными операциями элементарные преобразования
- Уметь вычислять матрицу линейного отображения, знать формулы замены матрицы при смене базиса
- Уметь вычислять расстояния и углы между векторами
- Уметь вычислять расстояния и углы между вектором и подпространством
- Уметь вычислять расстояния между подмножествами евклидового пространства
- Уметь вычислять следующие характеристики линейных отображений: след, определитель, характеристический и минимальный многочлены, спектр
- Уметь диагонализировать симметрическую билинейную форму следующими методами: симметричный гаусс, лагранж, якоби
- Уметь диагонализировать эрмитовы и косоэрмитовы формы
- Уметь задавать линейные подмногообразия двумя способами
- Уметь задавать подпространства линейными оболочками и системами линейных уравнений и уметь пересчитывать одно в другое.
- Уметь использовать блочные формулы для матричных операций
- Уметь находить SVD (в разных вариациях)
- Уметь находить базис векторного пространства, проверять является ли данная система базисом, выделять базис из заданной системы
- Уметь находить двойственны базис в сопряженном пространстве
- Уметь находить жорданов базис согласованный с ЖНФ для линейного оператора
- Уметь находить инвариантные подпространства в малых размерностях
- Уметь находить матрицу билинейной формы в заданных базисах
- Уметь находить минимальный и характеристический многочлены матрицы
- Уметь находить собственные значения и векторы
- Уметь находить собственные и корневые подпространства
- Уметь определять вид квадратичной поверхности
- Уметь определять ЖНФ для линейного оператора
- Уметь определять когда две матрицы задают один и тот же линейный оператор в разных базисах
- Уметь определять когда две матрицы задают одну и ту же билинейную форму в разных базисах
- Уметь определять количество решений СЛУ по ступенчатому виду
- Уметь определять положительную определенность эрмитовой формы
- Уметь определять сигнатуру симметрической билинейной формы над полем вещественных чисел
- Уметь определять сигнатуру эрмитовых форм
- Уметь пересчитывать матрицу билинейной формы в новых базисах
- Уметь переходить от однородных координат к аффиным и наоборот (когда это возможно)
- Уметь пользоваться поляризационной формулой
- Уметь пользоваться теоремой Кронекера-Капелли
- Уметь пользоваться формулой разложения по строке/столбцу определителя
- Уметь приводить движение к каноническому виду
- Уметь приводить самосопряженный оператор к каноническому виду
- Уметь приводить симметрическую форму к главным осям
- Уметь применять формулы Крамера
- Уметь проверять является ли билинейная форма скалярным произведением
- Уметь проводить ортогонализацию Грама-Шмидта
- Уметь раскладывать перестановки в независимые циклы
- Уметь раскладывать пространство в прямую сумму корневых подпространств над полем комплексных чисел
- Уметь распознавать вид взаимного расположения линейных подмногообразий и находить расстояния и углы между ними, когда это имеет смысл
- Уметь решать задачу о низкоранговом приближении
- Уметь решать переопределенные системы методом наименьших квадратов
- Уметь решать СЛУ и ОСЛУ методом Гаусса
- Уметь сводить задачи о 3-х, 2-х и 1-о мерных пространствах к фактам из школьной геометрии
- Уметь строить изофорфизм между билинейными формами и операторами
- Уметь строить линейные отображения двумя способами: с помощью базиса и с помощью матриц
Содержание учебной дисциплины
- Системы линейных уравнений
- Поля
- Перестановки и определитель
- Векторные пространства
- Линейные отображения
- Линейные операторы
- Линейные операторы и ЖНФ
- Функционалы
- Операторы в Евклидовых и Эрмитовых пространствах
- Билинейные формы
- Матрицы
- Евклидовы пространства
- Полуторалинейные формы
- Аффинная геометрия
Элементы контроля
- Контрольная 2
- Домашние задания 2
- Работа на семинаре 2
- Коллоквиум 2
- Экзамен 2Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
- Контрольная 1
- Домашние задания 1
- Работа на семинаре 1
- Коллоквиум 1
- Экзамен 1Для пилотного потока: Экзамен проводится в письменной форме с прокторингом. Задания выдаются в виде ссылки на yandex disk. Студенты решают на бумаге или оформляют в LaTeX. В конце отправляют на почту фотографии/сканы/набранные решения. Для основного потока: Экзамен проводится в письменной форме.. Продолжительность экзамена -- 2 часа 40 минут (+ возможность добавить времени до 20 минут). Писать нужно на бумаге (которая была чистой до экзамена). Пользоваться можно только устройством с единственной функцией "калькулятор" (можно на компьютере), никакие учебные материалы не разрешаются. Если у студента случился обрыв связи продолжительностью менее пяти минут, он может продолжить написание экзамена (дополнительное время при этом не предоставляется). Если случился обрыв связи продолжительностью дольше 5 минут, то считается, что студент пропустил экзамен. В этом случае ему будет предложено без штрафов сдать экзамен в комбинированном (письменно-устном) формате в течение недели с момента данного экзамена.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd module0.175 * Домашние задания 1 + 0.25 * Коллоквиум 1 + 0.175 * Контрольная 1 + 0.1 * Работа на семинаре 1 + 0.3 * Экзамен 1
- 2024/2025 4th moduleОитоговая = min(10; 0,35*Оэкз + 0,22*Околл + 0,15*Окр + 0,15Одз +0,15*Осем), где Оэкз - оценка за экзамен, Околл - оценка за коллоквиум, Окр - оценка за контрольную работу, Одз - оценка за домашние задания, Осем - оценка за работу на семинарах.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
- Сборник задач по алгебре, Аржанцев, И. В., 2009
Рекомендуемая дополнительная литература
- Алгебра и аналитическая геометрия. Т.2, Ч.1: Теоремы и задачи, Ким, Г. Д., 2003
- Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 2003