Научно-исследовательский семинар "Теория кодирования как введение в алгебру и арифметику"

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Гриценко Валерий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Теория кодирование возникла в 50-е годы XX века. Первые ее задачи состояли в изучении линейного векторного пространства над простейшим полем из двух элементов как метрического пространства. Для построения подпространств с очень специальными метрическими свойствами -- кодов -- используются различные алгебраические и геометрические методы. Задачи теория кодирования, совершенно естественные по формулировкам, дают новую базу для изучения важнейших алгебраических и геометрических структур. Например, структура корней многочленов над конечными полями (один из основных вопросов теории Галуа) отвечает за существование эффективных циклических кодов. Двойственность линейных пространств сводится к парам двойственных кодов. Геометрические структуры (конечные проективные пространства, лагранжианы бинарного и тернарного векторных пространств) отвечают за автодуальные и совершенные коды. Группы автоморфизмов кодов -- это основные конечные простые группы. Цель нашего курса в том, чтобы освоить основные алгебраические конструкции (поля, кольца, модули, фактор-кольца) на примере внешних для алгебры задач теории кодирования.

Цель освоения дисциплины

Цель курса в том, чтобы освоить основные алгебраические конструкции (конечные поля, кольца и фактор-кольца, модули, двойственность), включая основные результаты теории Галуа над конечным полем, на примере внешних для ''чистой" алгебры задач теории кодирования. Многие вопросы, такие как самодвойственные подпрастранства, грассманиан линейного пространства, конечные линейные группы, разложение кругового многочлена над конечным полем, квадратичные вычеты., которые лишь слегка затрагиваются в обязательном курсе алгебры будут играть важную практическую роль в данном курсе.

Планируемые результаты обучения

Слушатели познакомятся с системами корней и их группами Вейля, решетками Нимейера и Лича, дискретным преобразованием Фурье, числами Кэли, матрицами Адамара.

Содержание учебной дисциплины

Линейные коды и и их дуальные коды как объекты линейной алгебры над конечными полями. Метрика Хэмминга. Соотношения ортогональности.
Конечная проективная плоскость Фано и совершенный код Хэмминга. Группа автоморфизмов кода Хэмминга.
Целочисленные решетки An и Dn и их системы корней. Группа Вейля системы корней. Код Хэмминга и четная унимодулярная решетка E8.
Целочисленные решетки и их конечные дискриминантные группы. Расширения четных целочисленных решеток. Унимодулярные решетки ранга 16 и 24 (решетки Нимейера).
Плотные упаковки евклидова пространства шарами.
Код Голлея и решетка Лича. Совершенные коды.
Конечные поля и неприводимые многочлены на конечными полями. Введение в теорию Галуа конечных полей, автоморфизм Фробениуса. Неприводимые многочлены над конечным полем. Идеалы и циклические коды.
Преобразование Фурье на единичном кубе. Коды и теория инвариантов.

Элементы контроля

ЛР
ДЗ
Колллоквиум

Промежуточная аттестация

2024/2025 2nd module
0.5*Индивидуальная лабораторная работа + 0.3*Индивидуальное письменное решение дополнительных задач + 0.2*Устный коллоквиум. Если индивидуальная работа оценена в 10 баллов, то устный коллоквиум не является необходимым.

Список литературы

Авторы

Иконописцева Юлия Вахтанговна
Гриценко Валерий Алексеевич

Программа дисциплины