2024/2025
Научно-исследовательский семинар "Модулярные формы 1"
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
3
Программа дисциплины
Аннотация
Модулярные формы и функции — классический объект, возникший изначально в контексте теории эллиптических функций. Впоследствии оказалось, что они возникают естественным образом во многих других областях математики и имеют массу полезных приложений. Так, j-инвариант может быть использован для явного построения полей классов для мнимоквадратичных порядков, ряды Эйзенштейна помогают в изучении решёток, а квазимодулярные формы играют важную роль в решении задачи об упаковке шаров. Цель данного НИСа — познакомить слушателей с основами теории модулярных форм и обсудить её яркие приложения. Планируется, что часть занятий будут лекциями организаторов семинара, а все остальные — докладами участников. НИС разработан в рамках проекта "Геoмeтрия и Физика" по программе "Международное академическое сотрудничество".
Цель освоения дисциплины
- Освоение понятий модулярной формы, модулярной функции, конгрэнц-подгруппы
- Описания алгебр модулярных форм и полей модулярных форм относительно подгрупп малого уровня при помощи формулы валентности
- Классификация эллиптических функций относительно заданной решетки, описание унимодулярных решёток малой размерности, вычисление j-инварианта в мнимоквадратичных иррациональностях
Планируемые результаты обучения
- В итоге прохождения курса студенты научатся доказывать сверточные тождества, которые следуют из равенств модулярных форм, получать формулы для тета-функций решёток (как следствие — доказывать классические формулы для числа представлений целых чисел квадратичными формами) и применять теорию модулярных форм к задачам теории чисел, алгебры и геометрии
Содержание учебной дисциплины
- Гиперболическая плоскость, группа 𝑆𝐿(2, ℤ) и её фундаментальная область. Эквивалентность квадратичных форм.
- Модулярные формы, формула валентности. Ряды Эйзенштейна, модулярный дискриминант, модулярные функции и 𝑗-инвариант.
- Конгруэнц-подгруппы, операторы Гекке, мультипликативность 𝜏-функции Рамануджана, L-функции модулярных форм.
- Произведение Петерсона, ряды Пуанкаре.
- Производные модулярных форм, квазимодулярные формы и бесконечные произведения
- Вещественно-аналитические ряды Эйзенштейна, формы Маасса.
- Приложения: дзета-значения числовых полей, простые числа вида 𝑥2 + 𝑛𝑦2, гиперболическая проблема круга, упаковки шаров.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd modulemax(оценка за сделанный доклад, оценка за письменный экзамен)
