О классах устойчивой изотопической связанности полярных поверхностных каскадов

На сегодняшний день одной из значимых проблем в теории динамических систем является проблема существования дуги с не более чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса-Смейла) на многообразиях. Данная проблема входит в список пятидесяти проблем Палиса-Пью в их работе под номером 33. В 1976 году Ш.Ньюхаусом, Дж.Палисом, Ф.Такенсом было введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии. Такая дуга не меняет своих качественных свойств при малом шевелении. В том же году Ш.Ньюхаус и М.Пейшото доказали существование простой дуги (содержащей лишь элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Морса-Смейла. Из результата работы Ж.Флейтас вытекает, что простую дугу, построенную Ньюхаусом и Пейшото всегда можно заменить на устойчивую. Для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях любой размерности известны примеры систем, которые не могут быть соединены устойчивой дугой. В связи с этим естественно возникает вопрос о нахождении инварианта, однозначно определяющего класс эквивалентности диффеоморфизма Морса-Смейла относительно отношения связанности устойчивой дугой (компоненту устойчивой связанности). Основным результатом работы является доказательство следующего результата: любой диффеоморфизм из рассматриваемого класса соединяется с диффеоморфизмом, который является произведением двух диффеоморфизмов источник-сток на окружности, устойчивой дугой с конечным числом седло-узловых бифуркаций, где рассматриваемый класс – класс изотопных тождественному полярных диффеоморфизмов на двумерном торе, в предположении, что все неблуждающие точки неподвижны и имеют положительный тип ориентации.