Решение задач оптимальной остановки путем приближенного динамического программирование

Популярные методы решения задач оптимальной остановки такие как метод конечных разностей становятся неэффективными с ростом размерности задачи, поэтому для таких ситуауций используются методы Монте-Карло. Общей чертой многих методов Монте-Карло является использование регрессии и аппроксимаций вместе с динамическим программированием. При этом, качество решения зависит напрямую от правильно подобранного базиса для регрессии. В данной работе представлен новый алгоритм для улучшения существующих регрессионных методов основная идея, которого заключается в расширении регрессионного базиса функциями аппроксимированными на предыдущих шагах динамического программирования. Такой базис имеет нелинейную связь со всеми функциями полученными от предыдущих регрессий, но при этом не требует затратной нелинейной оптимизации. В первой части данной работы мы представим алгоритм регрессии с подкреплением, будут рассмотрены вычислительная сложность алгоритма, а также теоретические качества. Численно алгоритм будет протестирован на стандартных примерах из математических финансов. Во второй части работы мы покажем как в исчислении Винера-Ито, в духе первой части работы можно сконструировать базис оптимального мартингала необходимого для дуального решения задач оптимальной остановки. В качестве базиса будут использованы стохастические интегралы от производных ранее полученных функций продолжения. Эффективность метода продемострирована на численных экспериментах.