• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Higher Mathematics

2019/2020
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
5
ECTS credits
Delivered at:
Department of Higher Mathematics (Independent HSE Departments)
Course type:
Compulsory course
When:
1 year, 1, 2 module

Instructors

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Высшая математика» читается студентам первого курса образовательной программы «Логистика и управление цепями поставок». В ходе изучения курса решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов экономических специальностей. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Высшая математика» являются -формирование у слушателей высокой математической культуры -овладение основными знаниями по математике, необходимыми в практической экономической деятельности -развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений -ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области экономики и менеджмента. Для реализации поставленной цели в ходе изучения курса «Высшая математика» решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов экономических специальностей. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • В результате изучения курса «Высшая математика» студенты должны: -знать и уметь использовать математический аппарат для решения прикладных задач экономики и управления;
  • -иметь представление о математическом моделировании простейших экономических проблем и содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты их решений; -овладеть навыками самостоятельной работы и постоянно пополнять свой уровень знаний в свете современных тенденций развития математического инструментария для решения экономических задач.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Тема 1.1. Основы аналитической геометрии и линейные пространства.
    Определение и примеры линейных пространств. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, координаты, размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Угол между векторами. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью.
  • Тема 1.2. Матрицы и системы линейных уравнений.
    Матрицы и арифметические операции с матрицами. Понятие определителя n-го порядка, их свойства и способы вычисления. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Элементарные преобразования матрицы. Ранг системы векторов. Ранг матрицы и способы его вычисления. Существование и нахождение обратной матрицы. Системы линейных неоднородных уравнений. Критерий совместности. Системы линейных однородных алгебраических уравнений, теорема о размерности пространства решений. Условия существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Второй способ нахождения обратной матрицы.
  • Тема 1.3. Понятие линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
    Отображения линейных пространств. Линейные отображения, их матрицы. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Применение элементов линейной алгебры в экономике: модель Леонтьева многоотраслевой экономики, модель международной торговли.
  • Тема 2.1. Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность.
    Предел последовательности и предел функции. Основные теоремы о пределах. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
  • Тема 2.2. Дифференциальное исчисление.
    Производная функции в точке, ее геометрический, физический и экономический смысл. Дифференциал функции. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Неявно заданная функция и ее дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. Понятие о производных высших порядков. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Понятие эластичности функции. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Условия монотонности функций. Локальные экстремумы функций, необходимое и достаточное условие экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Выпуклые функции и теоремы об экстремумах выпуклых функций. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Приложения производных в экономической теории.
  • Тема 2.3. Интегральное исчисление.
    Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование кусочно-непрерывных функций. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Интегрирование по частям. Несобственный интеграл.
  • Тема 3.1. Функции нескольких переменных, дифференциальное исчисление.
    Определение функции двух переменных. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня. Обобщение на функции произвольного числа переменных. Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Дифференцируемость функций многих переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Первый дифференциал функции нескольких переменных и его применение в приближенных вычислениях. Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент функции и его свойства. Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о перестановке порядка дифференцирования. Дифференциалы высшего порядка. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
  • Тема 3.2. Экстремумы функций нескольких переменных.
    Необходимое условие экстремума. Квадратичная форма и ее матрица. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра постоянства знака квадратичной формы. Достаточные условия максимума и минимума. Выпуклые функции многих переменных. Теоремы об экстремумах выпуклых функций. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Геометрическая интерпретация необходимого условия локального условного экстремума. Достаточное условие локального условного экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Функции нескольких переменных в задачах экономики. Оптимизационные задачи на основе производственных функций. Понятие о методе наименьших квадратов.
  • Тема 3.3. Двойные интегралы.
    Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем повторного интегрирования. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • Экзаменационная работа (блокирующий)
  • Первая контрольная работа (неблокирующий)
  • Вторая контрольная работа (неблокирующий)
  • Проверочные работы, д/з, активность (неблокирующий)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Вторая контрольная работа + 0.2 * Первая контрольная работа + 0.25 * Проверочные работы, д/з, активность + 0.35 * Экзаменационная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Задачник по высшей математике : учеб. пособие для вузов, Шипачев В. С., 2000
  • Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : учебник, Беклемишев, Д. В., 2018
  • Математика для экономических специальностей : учебник, Красс М. С., 1999
  • Основы высшей математики : Учеб. пособие для вузов, Шипачев В. С., Тихонова А. Н., 2001
  • Основы математики и ее приложения в экономическом образовании : учебник, Красс М. С., Чупрынов Б. П., 2006
  • Сборник задач по алгебре : учеб. пособие для фак. менеджмента, политологии и социологии, Логвенков С. А., Мышкис П. А., 2010
  • Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных : учеб. пособие для фак. менеджмента, политологии и социологии, Логвенков С. А., Мышкис П. А., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Высшая математика для экономистов, Кремер, Н.Ш., 2002
  • Высшая математика. Т. 1, кн. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление, Бугров, Я. С., Никольский, С. М., 2019
  • Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов, Бараненков Г. С., Демидович Б. П., 2004
  • Краткий курс высшей математики : учеб. пособие для вузов, Демидович Б. П., Кудрявцев В. А., 2005
  • Краткий курс математики для экономистов : учеб. пособие, Колесников А. Н., 2000
  • Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии : Учеб. пособие, Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., 1998
  • Математика в экономике : Учеб. пособие, Малыхин В. И., 2000
  • Математика в экономике, чебник : в 2 ч., Ч. 2, 560 с.; 376 с., Солодовников, А. С., Бабайцев, В. А., Браилов, А. В., Шандра, И. Г., 2001
  • Математика в экономике. Ч.1: ., Солодовников А. С., Бабайцев В. А., 2007
  • Математические методы в экономике, Замков О. О., Толстопятенко А. В., 1997
  • Математический анализ : учебник для вузов, Ильин В. А., Садовничий В. А., 1979
  • Математический анализ (с экономическими приложениями) : Функции одной переменной: Учеб. пособие, Волкова И. О., Крутицкая Н. Ч., 1998
  • Общий курс высшей математики для экономистов, Ермаков, В.И., 2006
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. пособие для вузов, Матвеев Н. М., 1996
  • Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии : учебник для вузов, Бугров Я. С., Никольский С. М., 1997