Значения арифметических функций в коротких интервалах и случайные мультипликативные функцииValues of arithmetic functions in short intervals and random multiplicative functions

В диссертации обсуждается ряд вопросов о распределении некоторых арифметических функций в коротких интервалах. Первая часть работы посвящена применению модулярных рядов Кузнецова-Коэна к классическому вопросу о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. При помощи соотношения «почти ортогональности» для функций Бесселя удается вычислить квадратичное среднее рассматриваемого ряда и получить оценки моментов промежутков между суммами двух квадратов. Во второй главе мы доказываем, что существует бесконечно много простых чисел p, для которых множество квадратичных вычетов в Z/pZ проявляет свойства, существенно отличающиеся от свойств типичной реализации случайного подмножества плотности 1/2. В доказательстве мы пользуемся классическими результатами о нулях L-функций Дирихле и гладких числах. В последней главе получены оценки для плотности множества простых p, для которых символ Лежандра имеет неотрицательные частичные суммы. Доказательство опирается на современные результаты о поведении случайных мультипликативных функций и их производящих рядов Дирихле.