Бакалавриат
2025/2026
Научно-исследовательский семинар "Механика"
Статус:
Курс по выбору (Математика)
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3-й курс, 3, 4 модуль
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе механики студенты познакомятся с математическими основами одной из важнейших областей физики - классической механики. На примере простых и фундаментальных моделей будут объяснены принципы лагранжева и гамильтонова подхода в теоретической механике и продемонстрированы приложения современного математического аппарата: вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки пригодятся в дальнейшем при освоении курсов вариационного исчисления и гамильтоновой механики, дифференциальной геометрии и классической теории поля, квантовой механики и квантовой теории поля.
Цель освоения дисциплины
- Познакомить студентов с принципами построения математических моделей физических явлений на примере механических систем с конечным числом степеней свободы. Выработать практические навыки обращения с математическим аппаратом теоретической механики: уравнениями Эйлера-Лагранжа и уравнениями Гамильтона; основами вариационного исчисления и принципом наименьшего действия; методами исследования симметрий физических моделей и теоремой Э. Нётер; пуассоновыми структурами.
Планируемые результаты обучения
- - Умение строить простейшие механические модели, определять число степеней свободы, структуру конфигурационного пространства, выписывать уравнения движения
- Получение практического навыка вычисления скобок Пуассона различных физических величин, умение находить ограничение вырожденных скобок на симплектические листы, умение выполнять канонические преобразования по заданной производящей функции.
- Решение уравнения Ньютона для одномерной системы через закон сохранения энергии, умение строить и анализировать качественный фазовый портрет одномерной механической системы.
- Умение находить вариацию действия системы и недостающие граничные условия, умение находить симметрии действия и строить по ним Нетеровские интегралы движения
- Умение находить группу симметрий по интегралам движения, умение вычислять инфинитезимальные преобразования наблюдаемых под действием группы симметрий.
- Умение переходить к криволинейным координатам (цилиндрическим и полярным), находить траектории движения в Ньютоновом гравитационном потенциале, умение выводить законы Кеплера
- Умение строить гамильтониан системы, находить и решать гамильтоновы уравнения движения.
- Умение строить лагранжиан данной механической модели, выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа, находить простейшие законы сохранения по циклическим координатам, строить энергию системы
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия классической ньютоновской механики.
- Одномерные системы
- Движение в центральном поле
- Принцип Даламбера. Уравнения Эйлера-Лагранжа
- Вариационные методы. Принцип наименьшего действия и теорема Нетер
- Гамильтонов формализм.
- Скобки Пуассона и канонические преобразования
- Законы сохранения в гамильтоновом формализме.
Промежуточная аттестация
- 2025/2026 4th moduleПравила определения итоговой оценки за курс. Компоненты оценки • Оценка за 5-минутки. Не реже, чем раз в две недели на семинарских занятиях устраиваются небольшие контрольные – “5-минутки” продолжи- тельностью примерно 10-20 мин. Суммарная оценка за 5-минутки - O5мин - нормируется на 10 баллов. • Оценка за Домашние Задания. Примерно раз в две-три недели выдаются задания на дом. Суммарная оценка за домашние задания - OДЗ - нормируется на 10 баллов. • Оценка за Контрольные Работы. В течение семестра устраиваются 3 контрольные работы. Каждая контрольная оценивается по 10-балльной шкале. OКР – есть среднее арифметическое оценок всех контрольных работ. • Оценка за Экзамен. Экзамен – финальная письменная контрольная работа – оценивается по 10-балльной шкале. OЭКЗ – оценка за экзамен. Накопленная оценка OНАКОП = 0.4 O5мин + 0.45 OКР + 0.15 OДЗ В случае, если OНАКОП ≥ 8, студент имеет право получить итоговую оценку за курс, минуя экзамен. При этом итоговая оценка OИТОГ получается округлением OНАКОП до целого по обычному правилу. В случае, если OНАКОП < 8, студент обязан сдать экзамен, при этом итоговая оценка определяется по формуле OИТОГ = 0.3 OКР + 0.3 OЭКЗ + 0.3 O5мин + 0.1 OДЗ . Если OИТОГ < 4, итоговая оценка получается округлением до ближайшего меньшего целого числа (по 5-балльной шкале это неуд.). Если OИТОГ ≥ 4, итоговая оценка получается округлением до ближайшего целого по обычному правилу.
