• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Химия)
Направление: 04.03.01. Химия
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Теория вероятностей; 3. Профильных химических дисциплин.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • формирование у студентов базовых знаний о методах математического анализа
  • предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов
  • развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений
  • развитие навыка строгих математических рассуждений и доказательств
  • знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
  • формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • обучающийся должен УМЕТЬ:  дифференцировать элементарные функции и находить производные композиций функций  вычислять интегралы функций одного и нескольких переменных;  исследовать задачи на экстремум с помощью производной;  исследовать ряды на сходимость и находить суммы рядов;  вычислять криволинейные и поверхностные интегралы.
  • обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками:  исследования прикладных задач с помощью производной и интеграла;  методами исследования непрерывности и дифференцируемости функций и отображений;  методами разложения функций в ряды Тейлора и Фурье;  навыками решения задач на экстремум с помощью производной;  навыками вычисления одномерных и многомерных интегралов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Практикум: введение в производные и интегралы
    Вычисление простейших производны и интегралов. Примеры
  • Множества, числа и последовательности.
    Множества, мощность множества, отображения множеств, счетные и несчетные множества, континуум. Натуральные, рациональные, вещественные числа, цепные дроби. Метод математической индукции, числа сочетаний, бином Ньютона, неравенство Бернулли. Последовательности, их свойства. Монотонность, ограниченность. Определение предела. Примеры последовательностей, не имеющих пределов. Свойства пределов. Если предел существует, последовательность ограничена. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционерах. Предел суммы. Предел произведения. Предел 1/an. Точная верхняя и точная нижняя грань. Подпоследовательности. Предельные точки. Теорема Больцано--Вейерштрасса (у любой ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность). Число e и замечательные пределы.
  • Предел функции и непрерывность
    Функции. Определение предела функции в точке (по Коши). Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел при x стремящемся к бесконечности (плюс бесконечности, минус бесконечности). Беcконечные пределы. Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты. Непрерывность. Непрерывность композиции двух функций. Теорема о промежуточном значении.
  • Производная.
    Производная. Геометрический смысл производной, касательная. Вычисление производных. Производная суммы, произведения, композиции функций. Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Если производная всюду положительна, функция строго возрастает. Обратная функция. Логарифм. Производная обратной функции. Старшие производные. Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие экстремума. Правило Лопиталя (неопределенность 0/0, предел в конечной точке). o-малые и О-большие.
  • Числовые ряды.
    Числовые ряды. Признаки сходимости, расходимость гармонического ряда. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость, достаточные условия сходимости
  • Степенные ряды. Ряд Тейлора.
    Степенные ряды. Радиус сходимости, дифференцируемость в интервале сходимости. Представление функций рядами Тейлора в интервале.
  • Интеграл Римана функций одной переменной.
    Первообразная. Определенный интеграл (Римана). Свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенных и неопределенных интегралах. Примеры вычисления интегралов с помощью замены переменных. Интегрирование по частям.
  • Несобственный интеграл.
    Несобственные интегралы. Теорема сравнения для доказательства сходимости несобственных интегралов.
  • Понятие метрического пространства. Норма и расстояние в n-мерном пространстве. Вектор-функции
    Введение в функции нескольких переменных: расстоятние в n-мерном пространстве, прямые, плоскости. Вектор-функции и их производные. Кривые в пространстве.
  • Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных
    Функции нескольких переменных, линии уровня, примеры. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
  • Производные функций нескольких переменных
    Частные производные и производная функции нескольких переменных по направлению, геометрический смысл. Градиент.
  • Метод множителей Лагранжа. Условный экстремум.
    Метод множителей Лагранжа (эскиз доказательства для функций двух переменных с одним условием).
  • Отображения. Вектор-функции многих переменных
    Отображения. Вектор-функции многих переменных: обозначения, геометрический смысл. Замена координат (в R2), полярные координаты. Геометрический смысл частных производных
  • Матрица Якоби. Производная композиции. Гессиан.
    Матрица Якоби. Производная композиции. Якобиан. Применение вторых частных производных для определения типа экстремума. Достаточные условия (окаймленный гессиан).
  • Теорема о неявной функции Теорема об обратной функции.
    Теорема о неявной функции для уравнений вида f(x; y) = 0. Теорема об обратной функции.
  • Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини.
    Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини. Изменение порядка интегрирования. Объемы тел. Площадь поверхности вращения. Замена переменных в кратном интеграле Формулировка теоремы. Геометрический смысл якобиана.
  • Функциональные последовательности и ряды.
    Понятие равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Супремум-критерий, критерий Коши, признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов. Предел по базе. Критерий Коши. Критерий Маркова-Гордона перестановки пределов. Свойства равномерно сходящихся рядов: переход к пределу, непрерывность суммы, почленное интегрирование, почленное дифференцирование. Степенные ряды. Понятие радиуса сходимости, формула Коши-Адамара. Теоремы Абеля. Метод Абеля суммирования. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенных рядов. Теорема единственности для степенных рядов. Степенные ряды для элементарных функций. Условия представимости функции своим рядом Тейлора.
  • Степенные ряды и ряды Фурье.
    Пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства: экстремальное свойство, тождество Бесселя, тождество Парсеваля. Замкнутые ортогональные системы. Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Явный вид частичных сумм. Признаки Дини, Липшица сходимости ряда Фурье. Принцип локализации. Достаточное условие равномерной сходимости рядов Фурье. Эффект Гиббса. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Теорема Вейерштрасса о замкнутости тригонометрической системы. Интегральное преобразование Фурье как предельный случай разложения в ряд Фурье по тригонометрической системе.
  • Интеграл, зависящий от параметра
    Равномерная сходимость по параметру: супремум-критерий, связь с равномерной сходимостью последовательностей, критерий Коши. Теоремы о равномерной сходимости по параметру: перестановка пределов, непрерывность предельной функции, дифференцируемость и интегрируемость предельной функции. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра: непрерывность, переход к пределу, дифференцируемость (правило Лейбница).
  • Преобразование Фурье.
    Интегральное преобразование Фурье как предельный случай разложения в ряд Фурье по тригонометрической системе.
  • Криволинейные и поверхностные интегралы
    Понятия кривой, длины кривой. Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Грина. Понятие потенциального векторного поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности. Понятия поверхности, площади поверхности. Сапог Шварца. Поверхностные интегралы I рода, их свойства. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы II рода по гладким и кусочно-гладким поверхностям, их свойства.
  • Элементы векторного анализа.
    Понятие скалярного и векторного полей. Дифференциальные операторы 1-го порядка (градиент, ротор, дивергенция). Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса. Определения ротора и дивергенции, не использующие координат.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
    В течение учебного года планируется 5 домашних работ (2 в первом семестре и 3 во втором семестре)
  • неблокирующий Самостоятельные работы
    В течение учебного года планируется 8 самостоятельных работ (3 в первом семестре и 5 во втором семестре)
  • неблокирующий Контрольная работа
    Планируется две контрольных работы: в конце 1 модуля и в конце 3 модуля.
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проходит в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга, сервиса «Экзамус» на платформе мудл https://et.hse.ru. К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала. Ваш ПК должен соответствовать следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf и проходить две проверки: первую за 2 недели до сессии https://lms.demo.examus.net/syscheck_st и вторую за 24 часа до экзамена, с авторизацией https://hse.student.examus.net/. Порядок действий в случае, если ваш ПК не проходит проверку https://www.hse.ru/ba/chem/proctoring. Идентификация личности, весь ход экзамена обеспечивается программно, во время экзамена идет видеозапись с вашей веб-камеры и рабочего стола вашего ПК. В случае обнаружения запрещенных действий экзамен не прерывается, нарушения фиксируется с последующей проверкой проктором, который подтверждает нарушение или признаёт экзамен сданным. Видеозаписи будут сохранены в системе ВШЭ на длительный срок. Дополнительных согласий и заявлений для этого подписывать не требуется. Работа выполняется в формате полноценной письменной работы: вы пишете ответ, фотографируете работу и загружаете файл в поле ответа на платформе. В общее время экзамена входит время на сам тест (150мин) и время на фотографирование и загрузку ответов (20мин). Использование телефона при фотографировании ответа не будет в этом случае являться нарушением. Для участия в экзамене вы обязаны обеспечить: достаточный уровень освещенности; низкий уровень шума; отсутствие помех передаче видео и аудио сигнала; наличие и использование для идентификации оригинала паспорта; наличие исправной и включенной веб-камеры и микрофона (включая встроенные в ноутбук), постоянного интернет-соединения со скоростью передачи данных от пользователя не ниже 5 Мбит/сек. Во время экзамена вы обязаны: не покидать зону видимости веб-камерой; не отключать микрофон и не снижать его уровень чувствительности к звуку; использовать только одно средство вывода изображения, одну клавиатуру, один манипулятор; сосредоточиться на выполнении заданий (экран компьютера или листы с выполнением заданий), не отрывая взгляд на посторонние предметы на долгое время (15 секунд и больше), Во время экзамена вам запрещено: привлекать в помощь, вступать в разговоры, предоставлять доступ к ПК третьим лицам; использовать справочные материалы, любые гаджеты, дополнительные мониторы и компьютерную технику, кроме той, что непосредственно используется для экзамена; открывать вкладки браузера. Во время экзамена вы должны иметь при себе: ручку, карандаш, ластик, линейку, не более 8 чистых листов А4 для черновиков. калькулятор, на котором есть только основные операции (сложить, умножить, поделить). В случае необходимости вы можете иметь на столе один листок А4 со всеми нужными формулами (двусторонняя шпаргалка А4), воду, лекарства (в прозрачном пакете), шоколадку. При кратковременном нарушении связи (не более 5мин) обновить страницу или выйти из системы Examus и снова зайти, зафиксировать время разрыва связи (сделать скриншот, фотографию всего экрана, чтобы было видно время и окно приложения/сайта) и отправить в учебный офис. При долговременном нарушении связи (более 5 минут) вы не может продолжить участие в экзамене. Необходимо сообщить незамедлительно о случившемся в учебный офис с помощью любых каналов связи. Не позднее, чем через 3 дня, необходимо предоставить максимальное количество подтверждающих документов (ответ от провайдера, скриншот проблемы, объяснительная и т.д.). Процедура пересдачи соответствует основному экзамену, проводится в осенний период пересдачи, допускается дистанционная организация в случае продления дистанционного режима обучения. При долговременном нарушении связи при наличии уважительных причин, подтвержденных документально, предусмотрен резервный день в июне.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    В промежуточную аттестацию 2 модуля 1 и 2 курсов промежуточная оценка (ИО1 и ИО2) определяется по формуле: ИОi=0.3* Оэкз+0.3*Окр+ 0.16*Oдз+0.24*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за два домашних задания и Осам - средняя оценка за три самостоятельные работы.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    В промежуточную аттестацию 4 модуля 1 и 2 курсов промежуточная оценка (ИО3 и ИО4) определяется по формуле: ИОi=0.3* Оэкз+0.3*Окр+ 0.15*Oдз+0.25*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за три домашних задания и Осам - средняя оценка за пять самостоятельных работ.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. - Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами - Издательство "Физматлит" - 2006 - 352с. - ISBN: 5-9221-0328-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2172
  • Иванов О., Климчук С. - Математический анализ для первокурсников - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 136с. - ISBN: 978-5-4439-2081-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71822

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Битюков Ю.И., Ильина А.Н., Мартюшова Я.Г. - Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами. Часть 2 - Издательство "Физматлит" - 2015 - 308с. - ISBN: 978-5-9221-1598-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/91170
  • Будаев В. Д., Якубсон М.Я. - Математический анализ. Функции одной переменной - Издательство "Лань" - 2012 - 544с. - ISBN: 978-5-8114-1186-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3173
  • Будаев В.Д., Якубсон М.Я. - Математический анализ. Функции нескольких переменных - Издательство "Лань" - 2017 - 456с. - ISBN: 978-5-8114-2595-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/96244