• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Теория вероятностей и статистика

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и статистика» направлена на ознакомление студентов с основными концепциями теории вероятностей и статистики; раскрытие роли вероятностно-статистического инструментария в экономических и политологических исследованиях; изучение таких понятий, как события и вероятности их осуществления, случайные величины и их распределения, теорем теории вероятностей; изучение основ статистического описания данных, постановок и методов решения задач математической статистики: оценивание, проверка гипотез.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование представления о базовых понятиях и концепциях теории вероятностей и статистики
  • Формирование умения показывать знание и понимание определений, теорем и методов решения задач по дисциплине
  • Развитие навыков работы с абстрактными математическими понятиями
  • Ознакомление с областями практического приложения вероятностных моделей
  • Формирование умения анализировать статистические данные и результаты расчетов, в том числе, для последующего прогнозирования и выработки решений экономического характера, делать статистически обоснованные выводы, содержательно интерпретировать полученные результаты, умения собирать статистические данные
  • Формирование умения выбирать наиболее подходящую вероятностную модель или наиболее подходящий метод математической статистики для решения конкретной прикладной задачи
  • Формирование умения строить вероятностные и статистические модели
  • Развитие навыков самостоятельной работы и нахождения дополнительной информации в данной предметной области
  • Подготовка к изучению эконометрики и ряда других дисциплин, использованию статистических и эконометрических компьютерных программ для решения прикладных экономических задач
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Определяет вероятностное пространство наиболее подходящее для решения конкретной задачи. Строит функцию распределения и квантильную функцию случайной величины. Рассчитывает моменты случайной величины. Применяет формулу Байеса, рассчитывает априорные и апостериорные вероятности, в том числе, для задач с экономическим содержанием.
  • Интерпретирует для дискретных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Дает определение пуассоновского потока событий, объясняет связь с распределением Пуассона.
  • Анализирует задачи, решаемые при помощи биномиального распределения. Обосновывает необходимость приближенных формул Муавра – Лапласа и Пуассона. Приводит примеры других дискретных распределений вероятностей, связанных с комбинаторными задачами.
  • Интерпретирует для непрерывных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Строит и анализирует функции плотности. Приводит примеры наиболее распространенных непрерывных распределений вероятностей.
  • Решает задачи, связанные с совместными функциями распределения нескольких случайных величин. Рассчитывает ковариации и корреляции случайных величин.
  • Решает задачи на применение закона больших чисел, неравенства Маркова, неравенства Чебышева. Использует центральную предельную теорему при решении конкретных экономических задач.
  • Формулирует понятия простой случайной выборки, стратифицированной случайной выборки. Рассчитывает выборочное среднее, выборочную дисперсию.
  • Вычисляет основные характеристики, связанные с распределениями вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера.
  • Исследует статистические оценки на несмещенность, состоятельность, эффективность. Применяет метод моментов и метод максимального правдоподобия для построения статистических оценок.
  • Рассчитывает доверительные интервалы для параметров распределений. Дает примеры экономических приложений.
  • Анализирует методологию проверки статистических гипотез применительно к конкретным прикладным задачам. Рассчитывает значения статистик и критические области, делает выводы о принятии или непринятии гипотез. Строит эмпирические функции распределения для статистических данных.
  • Применяет непараметрические критерии для проверки гипотез.
  • Строит вероятностные модели типа «цепь Маркова» для соответствующих прикладных задач. Анализирует свойства этих моделей.
  • Исследует решающие правила, являются ли они допустимыми, минимаксными, байесовскими. Применяет методологию последовательного статистического анализа, в том числе, для задач с экономическим содержанием.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Основные понятия теории вероятностей
    Пространство элементарных событий, событие, случайная величина. Независимость событий. Независимость случайных величин. Функция распределения и квантильная функция случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: ожидание, дисперсия, стандартное отклонение. Моменты и центральные моменты случайных величин. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры использования формулы Байеса для учета экспертных оценок.
  • Дискретные случайные величины: функция распределения, дискретная функция плотности, основные числовые характеристики
    Вид функции распределения, формулы для числовых характеристик случайных величин. Распределение Пуассона. Пуассоновский поток событий.
  • Элементы комбинаторики
    Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Приближенная формула Пуассона. Геометрическое, отрицательное биномиальное, гипергеометрическое распределения.
  • Непрерывные случайные величины: функция распределения, функция плотности, основные числовые характеристики
    Вид функции распределения, функция плотности. Квантили и мода. Формулы для числовых характеристик случайных величин. Равномерное распределение. Нормальное распределение, его особая роль в математической статистике. Бета-распределение, гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение. Экспоненциальное распределение и его связь с пуассоновским потоком событий. Анализ простейшей системы массового обслуживания.
  • Двумерные и многомерные случайные величины
    Совместная функция распределения нескольких случайных величин. Маргинальные распределения. Условные распределения. Совместное дискретное распределение. Совместное непрерывное распределение. Ковариация и корреляция двух случайных величин. Двумерное нормальное распределение.
  • Предельные теоремы теории вероятностей
    Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Формулировка центральной предельной теоремы, примеры и пояснения к ней.
  • Основные понятия математической статистики, исследование выборками
    Генеральная совокупность, выборка. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Простая случайная выборка. Прием, применяемый в математической статистике: набору из n наблюдений ставится в соответствие набор из n случайных величин. Выборочное среднее, его ожидание и дисперсия (в том числе с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Выборочная дисперсия. Стратифицированная случайная выборка.
  • Некоторые распределения вероятностей, основанные на нормальном распределении (Пирсона, Стьюдента, Фишера)
    Вид функций плотности для хи-квадрат распределения, t-распределения, F-распределения. Определение квантилей, использование статистических таблиц.
  • Статистические оценки параметров распределений
    Сопоставление исследований выборками и оценок параметров распределений. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Методы построения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия.
  • Доверительные интервалы для параметров распределений
    Доверительные интервалы для ожидания при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух ожиданий и разности двух пропорций. Доверительные интервалы для дисперсии. Байесовские доверительные интервалы. Доверительное множество для векторного параметра.
  • Проверка статистических гипотез
    Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Тесты на нормальность. Эмпирическая функция распределения и тест Колмогорова – Смирнова. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Хи-квадрат критерии для проверки гипотез о независимости признаков и гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.
  • Непараметрические критерии для проверки некоторых статистических гипотез
    Ранговые корреляции. Коэффициенты Кендалла и Спирмена. Критерий суммы рангов Вилкоксона для проверки однородности выборок. Статистика Манна – Уитни. Критерий знаков Вилкоксона.
  • Цепи Маркова
    Цепи Маркова с дискретным временем и с дискретными значениями. Матрица переходных вероятностей. Примеры для управления запасами и для систем массового обслуживания. Свойство эргодичности для цепей Маркова.
  • Элементы теории статистических решений
    Функция потерь для заданного множества состояний среды и заданного множества решений. Решающие правила в задачах, где о неизвестном состоянии среды можно сделать некоторые выводы вероятностного характера на основе имеющейся статистической информации. Допустимые, минимаксные, байесовские решающие правила. Проверка статистических гипотез и оценка параметров как примеры статистических решений. Последовательный анализ (с определением оптимального размера выборки в процессе наблюдений).
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится в дистанционном формате
  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Активность на семинаре
  • неблокирующий Самостоятельная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.15 * Активность на семинаре + 0.1 * Домашнее задание + 0.25 * Контрольная работа 1 + 0.25 * Контрольная работа 2 + 0.25 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Statistics for business and economics, Newbold P., Carlson W. L., 2013
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов А. С., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Анализ данных в MS Excel : основные сведения о MS Excel, статистические таблицы и графики, статистические функции, пакет анализа (анализ данных) : учеб. пособие для вузов, Мхитарян, В. С., Шишов, В. Ф., 2018
  • Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика, Айвазян С. А., Мхитарян В. С., 2001
  • Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов А. С., 2007
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер Н. Ш., 2004
  • Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : более 360 задач и упражнений, Борзых Д. А., 2016