Теория вероятностей и статистика

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс обязательный (Мировая экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Где читается: Факультет мировой экономики и мировой политики

Когда читается: 2-й курс, 1-3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Погорелова Полина Вячеславовна, Шведов Алексей Сергеевич, Языков Артем Анатольевич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и статистика» направлена на ознакомление студентов с основными концепциями теории вероятностей и статистики; раскрытие роли вероятностно-статистического инструментария в экономических и политологических исследованиях; изучение таких понятий, как события и вероятности их осуществления, случайные величины и их распределения, теорем теории вероятностей; изучение основ статистического описания данных, постановок и методов решения задач математической статистики: оценивание, проверка гипотез.

Цель освоения дисциплины

Формирование представления о базовых понятиях и концепциях теории вероятностей и статистики
Формирование умения показывать знание и понимание определений, теорем и методов решения задач по дисциплине
Развитие навыков работы с абстрактными математическими понятиями
Ознакомление с областями практического приложения вероятностных моделей
Формирование умения анализировать статистические данные и результаты расчетов, в том числе, для последующего прогнозирования и выработки решений экономического характера, делать статистически обоснованные выводы, содержательно интерпретировать полученные результаты, умения собирать статистические данные
Формирование умения выбирать наиболее подходящую вероятностную модель или наиболее подходящий метод математической статистики для решения конкретной прикладной задачи
Формирование умения строить вероятностные и статистические модели
Развитие навыков самостоятельной работы и нахождения дополнительной информации в данной предметной области
Подготовка к изучению эконометрики и ряда других дисциплин, использованию статистических и эконометрических компьютерных программ для решения прикладных экономических задач

Планируемые результаты обучения

Интерпретирует для дискретных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Дает определение пуассоновского потока событий, объясняет связь с распределением Пуассона.
Анализирует задачи, решаемые при помощи биномиального распределения. Обосновывает необходимость приближенных формул Муавра – Лапласа и Пуассона. Приводит примеры других дискретных распределений вероятностей, связанных с комбинаторными задачами.
Интерпретирует для непрерывных случайных величин методы расчета функций распределения, квантильных функций и моментов. Строит и анализирует функции плотности. Приводит примеры наиболее распространенных непрерывных распределений вероятностей.
Решает задачи, связанные с совместными функциями распределения нескольких случайных величин. Рассчитывает ковариации и корреляции случайных величин.
Решает задачи на применение закона больших чисел, неравенства Маркова, неравенства Чебышева. Использует центральную предельную теорему при решении конкретных экономических задач.
Формулирует понятия простой случайной выборки, стратифицированной случайной выборки. Рассчитывает выборочное среднее, выборочную дисперсию.
Вычисляет основные характеристики, связанные с распределениями вероятностей Пирсона, Стьюдента, Фишера.
Исследует статистические оценки на несмещенность, состоятельность, эффективность. Применяет метод моментов и метод максимального правдоподобия для построения статистических оценок.
Рассчитывает доверительные интервалы для параметров распределений. Дает примеры экономических приложений.
Анализирует методологию проверки статистических гипотез применительно к конкретным прикладным задачам. Рассчитывает значения статистик и критические области, делает выводы о принятии или непринятии гипотез. Строит эмпирические функции распределения для статистических данных.
Применяет непараметрические критерии для проверки гипотез.
Строит вероятностные модели типа «цепь Маркова» для соответствующих прикладных задач. Анализирует свойства этих моделей.
Исследует решающие правила, являются ли они допустимыми, минимаксными, байесовскими. Применяет методологию последовательного статистического анализа, в том числе, для задач с экономическим содержанием.

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия теории вероятностей
Пространство элементарных событий, событие, случайная величина. Независимость событий. Независимость случайных величин. Функция распределения и квантильная функция случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: ожидание, дисперсия, стандартное отклонение. Моменты и центральные моменты случайных величин. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры использования формулы Байеса для учета экспертных оценок.
Дискретные случайные величины: функция распределения, дискретная функция плотности, основные числовые характеристики
Вид функции распределения, формулы для числовых характеристик случайных величин. Распределение Пуассона. Пуассоновский поток событий.
Элементы комбинаторики
Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Приближенная формула Пуассона. Геометрическое, отрицательное биномиальное, гипергеометрическое распределения.
Непрерывные случайные величины: функция распределения, функция плотности, основные числовые характеристики
Вид функции распределения, функция плотности. Квантили и мода. Формулы для числовых характеристик случайных величин. Равномерное распределение. Нормальное распределение, его особая роль в математической статистике. Бета-распределение, гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение. Экспоненциальное распределение и его связь с пуассоновским потоком событий. Анализ простейшей системы массового обслуживания.
Двумерные и многомерные случайные величины
Совместная функция распределения нескольких случайных величин. Маргинальные распределения. Условные распределения. Совместное дискретное распределение. Совместное непрерывное распределение. Ковариация и корреляция двух случайных величин. Двумерное нормальное распределение.
Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Формулировка центральной предельной теоремы, примеры и пояснения к ней.
Основные понятия математической статистики, исследование выборками
Генеральная совокупность, выборка. Точность результатов при проведении выборочных исследований. Простая случайная выборка. Прием, применяемый в математической статистике: набору из n наблюдений ставится в соответствие набор из n случайных величин. Выборочное среднее, его ожидание и дисперсия (в том числе с учетом поправки на конечный размер генеральной совокупности). Выборочная дисперсия. Стратифицированная случайная выборка.
Некоторые распределения вероятностей, основанные на нормальном распределении (Пирсона, Стьюдента, Фишера)
Вид функций плотности для хи-квадрат распределения, t-распределения, F-распределения. Определение квантилей, использование статистических таблиц.
Статистические оценки параметров распределений
Сопоставление исследований выборками и оценок параметров распределений. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность. Методы построения оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия.
Доверительные интервалы для параметров распределений
Доверительные интервалы для ожидания при известной и неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для пропорции. Доверительные интервалы для разности двух ожиданий и разности двух пропорций. Доверительные интервалы для дисперсии. Байесовские доверительные интервалы. Доверительное множество для векторного параметра.
Проверка статистических гипотез
Простые и сложные гипотезы. Критерий выбора между основной и альтернативной гипотезами. Уровень значимости. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Тесты на нормальность. Эмпирическая функция распределения и тест Колмогорова – Смирнова. Двойственность проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Хи-квадрат критерии для проверки гипотез о независимости признаков и гипотез о соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.
Непараметрические критерии для проверки некоторых статистических гипотез
Ранговые корреляции. Коэффициенты Кендалла и Спирмена. Критерий суммы рангов Вилкоксона для проверки однородности выборок. Статистика Манна – Уитни. Критерий знаков.
Цепи Маркова
Цепи Маркова с дискретным временем и с дискретными значениями. Матрица переходных вероятностей. Примеры для управления запасами и для систем массового обслуживания. Свойство эргодичности для цепей Маркова.
Элементы теории статистических решений
Функция потерь для заданного множества состояний среды и заданного множества решений. Решающие правила в задачах, где о неизвестном состоянии среды можно сделать некоторые выводы вероятностного характера на основе имеющейся статистической информации. Допустимые, минимаксные, байесовские решающие правила. Проверка статистических гипотез и оценка параметров как примеры статистических решений. Последовательный анализ (с определением оптимального размера выборки в процессе наблюдений).

Элементы контроля

Экзамен
Экзамен проводится в очной форме.
Контрольная работа 1
Контрольная работа 2
Домашнее задание
Активность на семинаре
Самостоятельная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.15 * Активность на семинаре + 0.1 * Домашнее задание + 0.25 * Контрольная работа 1 + 0.25 * Контрольная работа 2 + 0.25 * Экзамен

Программа дисциплины