• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Функциональный анализ

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу базовых дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, Алгебра, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Дифференциальные уравнения. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин, навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов».
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализ
  • Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Раздел 1. Элементы теории множеств Эквивалентные множества, понятие мощности множества. Конечные множества, счётные множества, континуальные множества, примеры. Мощность не более чем счётного объединения не более чем счётных множеств. Теорема Кантора-Бернштейна. Существование множества большей мощности. Раздел 2. Метрические и нормированные пространства Метрическое пространство (МП): определение, примеры. Окрестность. Открытые и замкнутые множества в МП (связь). Замыкание множества. Теорема о структуре открытых множеств вещественной прямой. Сходимость последовательности элементов МП. Полнота. Сепарабельность МП (примеры). Теорема о пополнении МП. Теорема о вложенных шарах. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения. Нормированные пространства, примеры. Банаховы пространства. Эквивалентные нормы. Теорема об эквивалентности норм в конечномерном линейном пространстве. Раздел 3. Теория меры Алгебры и сигма-алгебры множеств: определение, примеры. Мера. Схема построения меры Лебега. Примеры множеств нулевой меры Лебега (в качестве одного из примеров --- канторово множество). Пример неизмеримого множества. Мера Стильтьеса. Измеримые функции. Раздел 4. Интеграл Лебега Интеграл Лебега. Его связь с интегралом Римана. Теоремы Леви, Лебега, Фату. Различные виды сходимости, их связь. Теорема Фубини. Пространства суммируемых и квадратично суммируемых функций: нормы, сепарабельность, вложенность. Раздел 5. Гильбертовы пространства Предгильбертовы (евклидовы) пространства: определение, примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Равенство параллелограмма. Примеры линейных нормированных пространств, нормы в которых не порождаются скалярным произведением. Ортонормированные системы. Теорема Пифагора в гильбертовом пространстве (ГП). Теорема об ортогональном дополнении. Разложение Фурье. Проекция. Строго нормированные пространства. Элемент наилучшего приближения (ЭНП). Решение задачи о нахождении ЭНП в ГП.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная
    Может быть разбита на 2 части
  • неблокирующий Коллоквиум 2
  • неблокирующий Коллоквиум 1
  • неблокирующий Экзамен 2 курса
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.1 * Коллоквиум 1 + 0.2 * Коллоквиум 2 + 0.2 * Контрольная + 0.5 * Экзамен 2 курса
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории функций и функционального анализа : учебник для вузов, Колмогоров, А. Н., 1989

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Задачи по функциональному анализу, [учебное пособие], МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-мат. фак., нов. изд., 334 с., Бородин, П. А., Савчук, А. М., Шейпак, И. А., 2017
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа - Издательство "Физматлит" - 2009 - 572с. - ISBN: 978-5-9221-0266-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2206
  • Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006