• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Введение в топологию

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Математика)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Преподаватели: Жукова Нина Ивановна
Язык: русский
Кредиты: 8
Контактные часы: 134

Программа дисциплины

Аннотация

При изучении курса студенты знакомятся с основными понятиями топологии, такими как фундаментальная группа топологического пространства, гомотопическая эквивалентность и клеточные разбиения топологических пространств, а также приложениями. Усвоению материала способствует решение многочисленных упражнений и задач.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Изучение основ топологии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения топологических задач. Формирование у студентов представления о топологии как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • В результате освоения дисциплины студент должен: • Знать основные определения и результаты (теоремы) изучаемых разделов топологии. • Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи изучаемых разделов. • Иметь навыки (приобрести опыт) применения топологических методов в смежных теоретических и прикладных областях.
  • В результате освоения студент должен знать основные понятия и теоремы раздела и уметь применять полученные знания к решению задач.
  • Уметь доказывать и применять теорему Брауэра о неподвижной точке. Иметь представление о гипотезе Пуанкаре и ее решении Георгием Перельманом.
  • Знает основные понятия и теоремы раздела, умеет решать задачи. Умеет доказывать основные теоремы и применять их к решению задач
  • Имеет навыки работы с фактор- пространствами Умеет определять канонический вид поверхности по ее представлению правильным семейством многоугольников. Знает схему доказательства классификационной теоремы и умеет вычислять топологические инварианты поверхности.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Общая топология
    Топологические пространства. Сравнение топологий. Примеры. База топологии. Критерии базы в топологическом пространстве. Критерии базы на множестве. Метрическая топология. Аксиомы счетности и связь между ними. Теорема Линдлефа. Сепарабельность. Непрерывные отображения: эквивалентность четырех определений. Связь с определением непрерывности в математическом анализе. Гомеоморфизмы. Понятие о топологической классификации. Аксиомы отделимости и связь между ними. Теорема о метризуемости топологического пространства (без доказательства). Замыкание, внутренность и граница подмножеств топологического пространства и их свойства. Связность. Теоремы о связности топологических пространств. Свойства компонент связности. Вполне несвязные топологические пространства. Примеры. Линейная связность топологического пространства и ее свойства. Компоненты линейной связности и их свойства. Локально линейно связные пространства. Доказательство эквивалентности связности и линейной связности в локально линейных пространствах. Компактность топологического пространства Доказательство теорем о компактных пространствах, в том числе: 1) топологическая инвариантность компактности; 2) критерий компактности в n-мерном арифметическом пространстве с обычной топологией; 3) теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных пространствах. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова о произведении компактных пространств. Теорема о перенесении свойств сомножителей на произведение. Фактор-топология. Тор, лист Мебиуса, бутылка Клейна как фактор-пространства квадрата на плоскости по соответствующим отношениям эквивалентности.
  • Топологические многообразия с краем. Топологическая классификация замкнутых поверхностей
    Определение и примеры топологических многообразий. Независимость свойств: хаусдорфовости, связности и 2-й аксиомы счетности для топологического многообразия. Эквивалентность связности и линейной связности для многообразий. Теорема о классификации одномерных топологических многообразий. Понятие поверхности. Триангуляция поверхности. Теорема о существовании триангуляции для любой замкнутой поверхности (без доказательства). Правильное семейство многоугольников. Доказательство того, что любое правильное семейство многоугольников определяет замкнутую поверхность. Существование представления любой замкнутой поверхности правильным семейством многоугольников. Схема многоугольника. Канонические многоугольники и канонические поверхности. Элементарные преобразовании представления поверхности правильным семейством многоугольников 1-го и 2-го типов. Свойства элементарных преобразований. Доказательство теоремы о том, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из канонических поверхностей. Эйлерова характеристика поверхности. Доказательство топологической инвариантности эйлеровой характеристики. Вычисление эйлеровой характеристики канонических поверхностей. Задача Эйлера о многогранниках. Ориентируемость поверхности. Доказательство топологической инвариантности ориентируемости поверхностей. Теорема о топологической классификации замкнутых поверхностей.
  • Фундаментальная группа топологического пространства
    Гомотопическая эквивалентность отображений - отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных отображений двух топологических пространств. Связная гомотопия. Гомотопия путей. Произведение гомотопических классов путей: определение и доказательство его корректности. Фундаментальная группа топологического пространства. Примеры стягиваемых пространств. Изоморфность фундаментальных групп в различных точках линейно связного топологического пространства. Фундаментальная группа произведения топологических пространств. Накрывающие пространства. Примеры. Доказательство Леммы Лебега о непрерывных отображениях компактных метрических пространств. Доказательство теоремы о накрывающих путях. 8. Вычисление фундаментальной группы окружности с помощью накрывающего пространства. Фундаментальные группы тора и цилиндра. Гомоморфизмы фундаментальных групп при непрерывных отображениях и их свойства.
  • Топологическая и гомотопическая эквивалентность топологических пространств
    Гомотопическая эквивалентность топологических пространств и ее связь с топологической эквивалентностью. Инвариантность фундаментальной группы при гомотопической эквивалентности. Сравнение топологических и гомотопических инвариантов. Клеточные пространства (или CW-комплексы). Примеры. Теорема о фундаментальной группе клеточного пространства и ее применение к вычислению фундаментальных групп замкнутых поверхностей. n-мерные сфероиды и их произведение. Гомотопические группы высших порядков и их свойства. Теорема о нахождении первой нетривиальной гомотопической группы топологического пространства.
  • Применение гомотопической топологии
    Ретракция. Примеры. Поведение фундаментальной группы при ретракции. Доказательство того, что сфера, рассматриваемая как граница шара, не является его ретрактом. Доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. Гипотеза Пуанкаре и ее решение Георгием Перельманом.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Итоговый устный опрос
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.5 * Итоговый устный опрос + 0.25 * коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * Итоговый устный опрос + 0.25 * коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2-е изд., испр., 307 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2016
  • Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, под общ. ред. акад. А. Т. Фоменко, 409 с., Мищенко, А. С., Соловьев, Ю. П., Фоменко, А. Т., 2016
  • Топология для младшекурсников, [учебник], 159 с., Васильев, В. А., 2014
  • Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, 2-е изд., испр. и доп., 358 с., Прасолов, В. В., 2014

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Прасолов В.В. - Задачи по топологии - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 38с. - ISBN: 978-5-4439-3009-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80151