Математический анализ 2

Бакалавриат 2021/2022

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: с онлайн-курсом

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Демешев Борис Борисович, Кантонистова Елена Олеговна, Колесниченко Елена Юрьевна, Лукьяненко Никита Сергеевич, Маевский Евгений Валерьевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 150

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Значимую часть курса занимают ряды Фурье и преобразование Фурье. Второй семестр посвящен условным экстремумам, подмногообразиям в вещественном векторном пространстве, а также основам векторного и комплексного анализа.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория рядов, кратное интегрирование, криволинейные и поверхностные интегралы, ряды и преобразование Фурье.
Формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье
Формирование умения решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска)
Ознакомление студентов с начальными теоретическими основами комплексного анализа и умение применять методы комплексного анализа в задачах интегрирования
Формирование навыков самостоятельной исследовательской работы в процессе решения нестандартных задач повышенной сложности

Планируемые результаты обучения

Знать основные свойства преобразования Фурье и уметь вычислять прямое и обратное преобразования Фурье от заданной функции
Знать основные системы координат (полярная, цилиндрическая, сферическая) и якобианы соответствующих замен координат
Уметь исследовать на равномерную сходимость несобственные интегралы, зависящие от параметра
Знание условий Коши-Римана и умение проверять функцию комплексного переменного на дифференцируемость
Знать определение гладкого подмногообразия в R^n и его касательного пространства в точке
Знать определение грассмановой алгебры и дифференциальной формы k-го порядка на пространстве R^n
Знать основные свойства бета- и гамма-функции
Знать способы вычисления стандартных несобственных интегралов: интеграл Эйлера-Пуассона (гауссов интеграл), интеграл Дирихле, интегралы Лапласа, формула Фруллани
Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
Знать формулировку общей формулы Стокса и ее маломерных следствий: формулы Грина, формулы Гаусса-Остроградского, формулы Стокса
Уметь вычислять дифференциал от заданной дифференциальной k-формы, и значение дифференциальной 1-формы на заданном касательном векторе
Уметь вычислять интегралы (от функции комплексного переменного) при помощи вычетов
Уметь вычислять кратные интегралы сведением к повторным
Уметь вычислять криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода
Уметь вычислять поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода
Уметь вычислять сложные кратные интегралы, пользуясь следствиями из формулы Стокса
Уметь вычислять суммы рядов, используя ряды Фурье и равенство Парсеваля
Уметь исследовать ряд на сходимость, абсолютную/условную сходимость
Уметь находить локальный экстремум дифференцируемой функции нескольких переменных, используя необходимые и достаточные условия
Уметь находить радиус сходимости степенного ряда
Уметь находить условный экстремум функции, используя метод множителей Лагранжа. Уметь использовать достаточное условие второго порядка для касательного пространства
Уметь раскладывать функцию в ряд Фурье на отрезке
Уметь суммировать числовые ряды, переходя к функциональным рядам
Уметь упрощать кратные интегралы переходом в более удобную систему координат

Содержание учебной дисциплины

Числовые ряды и бесконечные произведения
Функциональные последовательности и ряды
Ряды Фурье
Кратные интегралы
Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра
Преобразование Фурье
Подмногообразия. Экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
Элементы векторного анализа и анализа дифференциальных форм
Начала теории функций комплексного переменного

Элементы контроля

Контрольные работы
Коллоквиумы
Устный коллоквиум
Экзамен (Экз_1семестр)
Коллоквиумы
Экзамен (Экз_2сем)

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 2 модуль
Итоговая оценка 2-го семестра: i2=0.125n2+0.5e2, где n2=s3+s4+k3+k4 Если n2≥38, то студент освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=10. Если 38>n2≥32, то студент (по умолчанию) освобождается от экзамена и выставляется автоматом e2=0.25n2 (без округления). Если все же студент желает сдавать экзамен, то сообщить об этом следует не позднее, чем за 3 дня до экзамена. Итоговая оценка за курс: i=0.5(i1 + i2) (округляется непосредственно перед выставлением в итоговую ведомость)
2021/2022 учебный год 4 модуль
В течение года установлены следующие формы контроля: 2 письменных экзамена (e1, e2 - 10-балльные оценки за экзамены); 4 коллоквиума (k1, k2, k3, k4 - 10-балльные оценки за коллоквиумы); некоторое число самостоятельных работ (s1, s2, s3, s4 - средние оценки за самостоятельные работы по модулям, приведенные к 10-балльной шкале). Все оценки считаются и учитываются без округлений. Округление производится по общепринятому правилу: round(x)=floor(x+0.5) непосредственно перед выставлением оценок в официальные бумаги. Итоговая оценка 1-го семестра: i1=0.125n1+0.5e1, где n1=s1+s2+k1+k2

Программа дисциплины