Бакалавриат
2021/2022
Научно-исследовательский семинар "Динамические системы и приложения"
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
4-й курс, 1-3 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Круглов Владислав Евгеньевич
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Научный семинар, проводящийся на базе международной лаборатории динамических систем и приложений, по различным разделам математики, связанным с теорией динамических систем. Семинар ориентирован на старшекурсников, магистров, аспирантов и преподавателей, которые хотели бы расширить свой кругозор в области, как современных, так и классических математических методов в динамике.
Содержание учебной дисциплины
- Векторные поля и фазовые потоки на многообразиях
- Индексы особых точек векторных полей, теорема о сумме индексов
- Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
- Дифференциальные уравнения на торе. Повороты окружности. Теорема о равномерном распределении для иррационального поворота окружности.
- Число вращения. Классификация Пуанкаре.
- Динамические системы с дискретным и непрерывным временем. Связь между ними (сдвиг за единичное время, отображение Пуанкаре, надстройка, специальный поток). Основные свойства (транзитивность, минимальность, топологическое перемешивание). Примеры (потоки на торе, гиперболический автоморфизм тора).
- Символическая динамика. Подкова Смейла. Растягивающие отображения окружности.
- Теорема Данжуа. Пример Данжуа.
- Гиперболичность особых точек и замкнутых траекторий векторных полей, неподвижных и периодических точек диффеоморфизмов. Теорема Гробмана-Хартмана. Теорема Адамара- Перрона.
- Понятие структурной устойчивости. Теорема о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.
- Критерий Андронова-Понтрягина структурной устойчивости векторных полей на плоскости. Структурная устойчивость линейных гиперболических автоморфизмов тора. Пример Смейла (области в пространстве С1-диффеоморфизмов, свободной от структурно-устойчивых систем).
- Аналитическая теория нормальных форм. Теорема Пуанкаре-Дюлака. Области Пуанкаре и Зигеля. Теоремы Пуанкаре и Зигеля.
- Гладкая теория нормальных форм. Теория Фробениуса и гомотопический метод. Теорема Стернберга о нормальной форме нерезонансного гиперболического седла.
- Основные понятия теории бифуркаций. Лемма Сарда, слабая теорема трансверсальности. Бифуркации особых точек векторных полей в типичных однопараметрических семействах. Принцип сведения Шошитайшвили.
- Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкая и жесткая потеря устойчивости.
- Нелокальные бифуркации. Бифуркация гомоклинической петли плоского седла. Бифуркация гомоклинической траектории седло-узла.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Бычков Ю.А., Соловьева Е.Б., Щербаков С.В. - Непрерывные и дискретные нелинейные модели динамических систем: монография - Издательство "Лань" - 2018 - 420с. - ISBN: 978-5-8114-3348-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/112676
- Ильяшенко, Ю. С. Избранные задачи теории динамических систем : монография / Ю. С. Ильяшенко. — Москва : МЦНМО, 2011. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-818-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71862 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Секованов В.С. - Элементы теории дискретных динамических систем: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2018 - 180с. - ISBN: 978-5-8114-2429-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/103912