Геометрия

Бакалавриат 2021/2022

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Амбург Наталья Яковлевна, Басалаев Алексей Андреевич, Горбунов Василий Геннадьевич, Городенцев Алексей Львович, Скопенков Михаил Борисович, Хорошкин Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 11

Контактные часы: 252

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Освоение дисциплины «Линейная алгебра и геометрия» является необходимым пререквизитом для большинства курсов, читаемых на факультете математики. В первую очередь к ним относятся курсы алгебры и анализа второго года обучения, анализ на многообразиях и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория представлений, алгебраическая и дифференциальная топология, алгебраическая и дифференциальная геометрия и целый ряд других фундаментальных и прикладных курсов.

Цель освоения дисциплины

Целью изучения дисциплины является освоение основ линейной и матричной алгебры, их вычислительных и теоретических методов, а также воспитание геометрической интуиции и приобретение опыта работы с геометрическими фигурами в многомерных евклидовых, аффинных и проективных пространствах, в эллиптических пространствах и пространствах Лобачевского.

Планируемые результаты обучения

Умение решать задачи на взаимное расположение прямых и точек в двумерном аффинном пространстве, решать системы линейных уравнений размера 2x2 по правилу Крамера, пользоваться барицентрическими координатами и центрами тяжести

Содержание учебной дисциплины

Векторное пространство k^2
Евклидова плоскость = комплексная прямая.
Линейные и аффинные преобразования плоскости, дифференциал аффинного преобразования.
Определение и примеры векторных пространств.
Подпространства.
Линейные отображения, размерность ядра и образа, непустые слои являются сдвигами ядра.
Матричная запись и различные геометрические интерпретации систем линейных уравнений и их решений.
Двойственное пространство, примеры линейных форм на различных пространствах.
Объём ориентированного параллелепипеда, полилинейные кососимметричные и знакопеременные формы, пространство кососимметричных $n$-лилинейных форм на $n$-мерном пространстве одномерно.
Евклидовы пространства.
Ортогональные преобразования и движения, описание движений плоскости и трёхмерного пространства.
Собственные векторы и собственные подпространства линейных операторов.
Одновременная диагонализация произвольного множества коммутирующих операторов, общие собственные векторы коммутирующих операторов.
Билинейные формы, их корреляции и матрицы Грама, преобразование матрицы Грама при замене базиса.
Ортогонализация симметричной билинейной формы над произвольным полем, специализации над полями R, C и F(p).
Кососимметричные билинейные формы.
Проективные пространства и проективизация, однородные координаты, аффинные карты и локальные аффинные координаты.
Симметрическая агебра векторного пространства и задание фигур однородными уравнениями, проективное замыкание аффинной гиперповерхности.
Группа PGL(V).
Геометрия гладких проективных квадрик.
Пространство квадрик, гладкие точки и касательное пространство к гиперповерхности особых квадрик, пучки квадрик, коранг особой квадрики пучка не меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
Конформная теория коник на евклидовой плоскости.
Аффинные пространства.
Выпуклая геометрия в R^n.
Евклидова геометрия квадрик в R^n.
Эллиптическое пространство E = P(V).
Пространство Лобачевского L⊂ P(V)$, где V — вещественное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой сигнатуры (1, n), состоит из точек с положительным скалярным квадратом.
Конформная модель гиперболического пространства в шаре.
Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.

Элементы контроля

контрольная работа
каждый семестр - 4 контрольные работы
решение листков задач
− самостоятельное решение задач из выдаваемых в течение семестра листков с заданиями, которое оценивается числом
коллоквиум
− устный коллоквиум по итогам первого модуля, который оценивается целым числом
экзамен
− письменный экзамен в конце семестра
работа на семинарах
каждый ведущий упражнения преподаватель выставляет каждому студенту своей группы оценку СЕМ (целое число в пределах от 0 до 100) за работу на семинарах по правилам, которые он сообщает на первом занятии

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 2 модуль
На итоговую отметку за первый семестр влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле: min(400,С+S+L+K+E)/40 Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
2021/2022 учебный год 4 модуль
На итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле: min(300,S+L+K+E)/30. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Программа дисциплины