2020/2021

Научно-исследовательский семинар "Стохастический анализ с приложениями в финансах"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Колесников Александр Викторович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

Курс представляет собой введение в стохастический анализ и базовые модели финансовой математики. В курсе дается введение в теорию мартингалов, стохастическое дифференцирование. В качестве приложений рассматриваются дискретные и непрерывные финансовые модели. Слушатели знакомятся с теорией арбитража и Блэка-Шоулза.

Цель освоения дисциплины

• Освоение техники стохастического анализа, знакомство с теорией мартингалов. Знакомство с базовыми математическими моделями в финансах.

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с основными свойствами винеровского процесса
• Освоение техники работы со случайными блужданиями
• Ознакомление с математическими инструментами в финансах
• Знакомство с дискретными моделями и дискретной теорией арбитража.
• Знакомство с непрерывными моделями в финансах

Содержание учебной дисциплины

• Случайные блуждания. Комбинаторные свойства. Винеровский процесс как предел случайных блужданий.
• Простейшие модели финансовых активов. Гауссовы модели. Безгранично делимые распределения.
• Другие инструменты в финансах. Волатильность, куртозис, копулы, случайные матрицы (обзорно).
• Конечные модели и модели с дискретным временем. Введение в теорию арбитража.
  1. Опционы. 1-шаговая биномиальная модель. Арбитраж и риск-нейтральность. Хеджирование. 2. Многошаговая биномиальная модель. Формула Кокса-Росса-Рубинштейна. 3. Дискретные мартингалы. Основные свойства. Мартингальные неравенства. 4. Марковские моменты и мартингалы. 5. Элементы выпуклого анализа. Отделимость выпуклых множеств. 6. Самофинансируемые портфели. Первая фундаментальная теорема финансовой математики для конечных моделей. 7. Вторая фундаментальная теорема (о полноте) для конечных моделей 8. Фундаментальные теоремы для моделей с дискретным множеством (обзорно).
• Модели с непрерывным временем.
  1. Стохастический интеграл и формула Ито (обзорно). 2. Стохастические дифференциальные уравнения. Примеры явных решений (процесс Орнштейна-Уленбека, геометрическое броуновское движение). Теорема существования и единственности. 3. Марковское свойство решений стохастических дифференциальных уравнений. Формула Дынкина. 4. Уравнения Колмогорова (обзорно). 5. Квадратично интегрируемые мартингалы. 6. Формула Гирсанова. 7. Модель Блэка-Шоулза.
• Винеровский процесс (броуновское движение). Базовые свойства. Нерегулярность траекторий.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Устная беседа по пройденному материалу
  Может быть поставлен автомат в случае высокой оценки за домашние задания и активной работы на семинарах.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.6 * Домашние задания + 0.4 * Устная беседа по пройденному материалу

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Основы стохастической финансовой математики. Т. 1: Факты. Модели, Ширяев, А. Н., 2016
• Основы стохастической финансовой математики. Т. 2: Теория, Ширяев, А. Н., 2016

Рекомендуемая дополнительная литература

• Стохастические дифференциальные уравнения : введение в теорию и приложения, Оксендаль, Б., 2003