• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2020/2021

Характеристические классы

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Векторные расслоения - семейства векторных пространств, параметризованных точками некоторого многообразия. Характеристические классы перерабатывают информацию о глобальной структуре векторного расслоения в форме когомологических классов. Характеристические классы являются эффективным и красивым инструментом, возникающим в алгебраической топологии, алгебраической геометрии, арифметической геометрии, дифференциальной геометрии и даже математической физике. Характеристические классы позволяют не только различать неизоморфные расслоения, но и позволяют решать большое количество перечислительных задач проективной комплексной геометрии. Курс является продолжением курса по алгебраической топологии с приложениями в алгебраической и арифметической геометриях
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Цель курса состоит в понимании понятия характеристического класса в разных математических дисциплинах, связь различных определений характеристических классов и знакомство с различными способами вычисления классов Черна комплексных расслоений
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Освоение понятия локально тривиального расслоения, G-расслоения и характеристического класса
  • Умение построения классифицирующего пространства для простейших групп: Z_2, Z_n, Z, S_3, а также S^1
  • Освоение основных определений классов Черна. Умение доказывать эквивалентность этих определений. Умение вычислять классы Черна для конкретных расслоений
  • Умение переходить от базиса из мономов Черна к базису циклов Шуберта и обратно. Умение раскладывать произведение циклов Шуберта по базису циклов Шуберта
  • Умение вычислять характеристические числа конкретных проективных многообразий: проективных пространств, их произведений, а также гиперповерхностей в них
  • Умение вычислять эквивариантный интеграл для простейших действий торов на компактных многообразиях
  • Освоение методики принципа локализации. Умение находить все члены, входящие в формулу, умение суммирования полученных выражений в замкнутом виде
  • Умение применять формулу локализации для вычисления гомоморфизма Гизина в конкретных ситуациях
  • Освоение техники решения задач исчислительной проективной геометрии путем сведения к исчислению Шуберта
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Понятие характеристического класса расслоения
    Локально тривиальные расслоения, структурная группа, главные G-расслоения. Понятие характеристического класса. Первые примеры: класс Эйлера и класс Штифеля-Уитни
  • Классифицирующее пространство для G-расслоений
    Эквивалентность понятия абстрактного G-расслоения и главного G-расслоение. Универсальное свойство классифицирующего пространство. Существование и единственность. Конструкция Милнора
  • Классы Черна комплексных векторных расслоений
    Первый класс Черна линейного расслоения. Определение старших классов Черна. Формула Уитни и принцип расщепления.
  • Исчисление Шуберта
    Аддитивный и мультипликативный образующие когомологий грассманиана. Классы Шуберта. Формулы Пьери, Джамбелли, правило Литлвуда-Ричардсона.
  • Комплексные кобордизмы и характер Черна-Дольда
    Численная и комплексно стабильная эквивалентность комплексных многообразий. Характеристические классы как инварианты комплексных кобордизмов. Универсальный мультипликативный инвариант и характер Черна-Дольда. Формальная группа комплексных кобордизмов и ее логарифм
  • Эквивариантное интегрирование
    Эквивариантное продолжение классов когомологий. Эквивариантное интегрирование и гомоморфизм Гизина
  • Формулы локализации Атьи-Ботта.
    Формулы локализации для действия огружности и торов. Класс Эйлера. Свойство полиномиальности.
  • Приложения формулы локализации
    Гомоморфизм Гизина, эквивариантное интегрирование, вычисление полиномов Тома и другие применения формулы локализации
  • Применение исчисления Шуберта для решения исчислительных задач проективной геометрии
    Исчисление коник и квадрик, перечисление прямых и плоскостей с геометрическими ограничениями и другие примеры
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий домашние задания
    Решения присылаются преподавателям на электронную почту. Работы возвращаются студентам с указанием ошибок и недочетов для исправления и повторного решения задач
  • неблокирующий Промежуточная письменная контрольная работа
    В сессию после первого модуля
  • неблокирующий Итоговый письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * домашние задания + 0.4 * Итоговый письменный экзамен + 0.3 * Промежуточная письменная контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Milnor, J. W., & Stasheff, J. D. (1974). Characteristic Classes. (AM-76), Volume 76. Princeton, N.J.: Princeton University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1432981

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Натанзон С.М. - Введение в пучки, расслоения и классы Черна - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 48с. - ISBN: 978-5-94057-647-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9376