Характеристические классы

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Галкин Сергей Сергеевич, Казарян Максим Эдуардович, Хорошкин Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Векторные расслоения - семейства векторных пространств, параметризованных точками некоторого многообразия. Характеристические классы перерабатывают информацию о глобальной структуре векторного расслоения в форме когомологических классов. Характеристические классы являются эффективным и красивым инструментом, возникающим в алгебраической топологии, алгебраической геометрии, арифметической геометрии, дифференциальной геометрии и даже математической физике. Характеристические классы позволяют не только различать неизоморфные расслоения, но и позволяют решать большое количество перечислительных задач проективной комплексной геометрии. Курс является продолжением курса по алгебраической топологии с приложениями в алгебраической и арифметической геометриях

Цель освоения дисциплины

Цель курса состоит в понимании понятия характеристического класса в разных математических дисциплинах, связь различных определений характеристических классов и знакомство с различными способами вычисления классов Черна комплексных расслоений

Планируемые результаты обучения

Освоение понятия локально тривиального расслоения, G-расслоения и характеристического класса
Умение построения классифицирующего пространства для простейших групп: Z_2, Z_n, Z, S_3, а также S^1
Освоение основных определений классов Черна. Умение доказывать эквивалентность этих определений. Умение вычислять классы Черна для конкретных расслоений
Умение переходить от базиса из мономов Черна к базису циклов Шуберта и обратно. Умение раскладывать произведение циклов Шуберта по базису циклов Шуберта
Умение вычислять характеристические числа конкретных проективных многообразий: проективных пространств, их произведений, а также гиперповерхностей в них
Умение вычислять эквивариантный интеграл для простейших действий торов на компактных многообразиях
Освоение методики принципа локализации. Умение находить все члены, входящие в формулу, умение суммирования полученных выражений в замкнутом виде
Умение применять формулу локализации для вычисления гомоморфизма Гизина в конкретных ситуациях
Освоение техники решения задач исчислительной проективной геометрии путем сведения к исчислению Шуберта

Содержание учебной дисциплины

Понятие характеристического класса расслоения
Локально тривиальные расслоения, структурная группа, главные G-расслоения. Понятие характеристического класса. Первые примеры: класс Эйлера и класс Штифеля-Уитни
Классифицирующее пространство для G-расслоений
Эквивалентность понятия абстрактного G-расслоения и главного G-расслоение. Универсальное свойство классифицирующего пространство. Существование и единственность. Конструкция Милнора
Классы Черна комплексных векторных расслоений
Первый класс Черна линейного расслоения. Определение старших классов Черна. Формула Уитни и принцип расщепления.
Исчисление Шуберта
Аддитивный и мультипликативный образующие когомологий грассманиана. Классы Шуберта. Формулы Пьери, Джамбелли, правило Литлвуда-Ричардсона.
Комплексные кобордизмы и характер Черна-Дольда
Численная и комплексно стабильная эквивалентность комплексных многообразий. Характеристические классы как инварианты комплексных кобордизмов. Универсальный мультипликативный инвариант и характер Черна-Дольда. Формальная группа комплексных кобордизмов и ее логарифм
Эквивариантное интегрирование
Эквивариантное продолжение классов когомологий. Эквивариантное интегрирование и гомоморфизм Гизина
Формулы локализации Атьи-Ботта.
Формулы локализации для действия огружности и торов. Класс Эйлера. Свойство полиномиальности.
Приложения формулы локализации
Гомоморфизм Гизина, эквивариантное интегрирование, вычисление полиномов Тома и другие применения формулы локализации
Применение исчисления Шуберта для решения исчислительных задач проективной геометрии
Исчисление коник и квадрик, перечисление прямых и плоскостей с геометрическими ограничениями и другие примеры

Элементы контроля

домашние задания
Решения присылаются преподавателям на электронную почту. Работы возвращаются студентам с указанием ошибок и недочетов для исправления и повторного решения задач
Промежуточная письменная контрольная работа
В сессию после первого модуля
Итоговый письменный экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * домашние задания + 0.4 * Итоговый письменный экзамен + 0.3 * Промежуточная письменная контрольная работа

Программа дисциплины