2020/2021
Научно-исследовательский семинар "Группы кос, квантовые группы и приложения"
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
В этом курсе мы обсуждаем несколько тем из теории групп кос и теории квантовых групп, в которых появляется и применяется один из самых известных объектов современной математической физики —— так называемая R-матрица. R-матрица в узком понимании этого термина, с которым мы, в основном, и будем иметь дело, —— это решение кубического матричного уравнения Янга-Бакстера, известного также как соотношение Артина, или уравнение кос. Сферы применения R-матриц в настоящее время очень разнообразны: от теории точно решаемых моделей квантовой механики, статистической физики и теории поля до проблем построения инвариантов узлов, структурной теории и теории представлений квантовых матричных алгебр. В курсе мы знакомим слушателей с алгебраическими структурами, порождающими R-матрицы, и обсуждаем различные приложения R-матриц в построении инвариантов узлов, в теории квантовых групп, и в исследовании интегрируемых моделей матфизики: квантовых ]спиновых цепочек и стохастических процессов (см. программу курса). Очень важные для современной теоретической физики приложения R-матриц в теории интегрируемых моделей также обсуждаются в матфизическом спецкурсе “Анзац Бете”.
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление слушателей курса с современными методами теории интегрируемых систем, структурной теорией и теорией представлений ассоциативных алгебр, основанными на применении группы кос, алгебр Ивахори-Гекке и их R-матричных представлений.
Планируемые результаты обучения
- Освоение артинова (алгебраического) подхода к описанию групп кос в терминах генераторов и соотношений. Изучение различных наборов генераторов группы кос, описание центра группы кос, ознакомление с коммутативным набором элементов Юциса-Мэрфи.
- Освоение критерия полупростоты алгебр Ивахори-Гекке и классификации их неприводимых представлений. Выработка навыков практической работы с неприводимыми представлениями алгебры Гекке в базисе, диагонализующем операторы Юциса-Мэрфи: построение тождеств в подалгебре элементов Юциса-Мэрфи; построение полного набора примитивных идемпотентов; вывод явных формул для матриц артиновых генераторов.
- Знакомство с различными R-матричными представлениями алгебр Ивахори-Гекке и группы кос. Изучение серий R-матриц Дринфельда-Джимбо и Кулиша-Склянина, а также их мультипараметрических обобщений.
- Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке.
- Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
- Изучение основных свойств пуассоновой алгебры функций, гамильтоновых векторных полей и порождаемых ими потоков. Умение ограничить вырожденные скобки Пуассона на листы слоения, построение симплектической структуры по невырожденной скобке и наоборот. Выяснение роли пуассновых структур на многообразии в задаче деформационного квантования алгебры функций на нем.
- Освоение свойств скобки Склянина на алгебре функций на группе и ее выражение через классическую r-матрицу. Построение квантовой версии для случая sl(2), умение проверить плоскость квантования.
- Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
- Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
- Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины
- Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.Подход к теории представлений в духе Окунькова-Вершика. Конструкция элементов Юциса-Мерфи, максимальной коммутативной подалгебры, примитивных идемпотентов. Спектр элементов Юциса-Мерфи в левом регулярном представлении.
- Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.Доказательство эквивалентности артинова алгебраического описания группы кос и группы крашеных кос и их геометрического определения как фундаментальных групп конфигурационных пространств.
- R-матричные представления группы кос.R-матричные представления в тензорной алгебре фундаментального пространства. Примеры R-матриц GL(m,n) и O(n) типов.
- Марковский след на алгебре Ивахори–Гекке.Косообратимые R-матрицы, конструкция R-следа. R-матричная техника. Приложения к теории инвариантов зацеплений и к теории квантовых спиновых цепочек.
- Понятие об алгебрах Хопфа.Основные структуры алгебры Хопфа. Коумножение, коединица и антипод с точки зрения теории представлений. Двойственные алгебры Хопфа.
- Квантование пуассоновой алгебры.Пуассонова структура на ассоциативной алгбере. Основные свойства скобок Пуассона. Примеры: алгебры функций на группе и матричной алгебре. Деформационное квантование,
- Алгебра функций на группе и ее квантование.Скобка Склянина как пример R-матричной скобки Пуассона. Квантованная алгебра функций на группе: R-матричный подход (так называемая RTT-алгебра).
- Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).Примеры скобок Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n). Квантование пучка скобок Пуассона, алгебра уравнения отражений с R-матрицей GL(n) типа.
- Структура алгебры уравнения отражений.Алгебра уравнения отражений GL(n) типа как пример квантовой матричной алгебры. Структура алгебры уравнения отражений: характеристическая подалгебра, квантовая версия теоремы Гамильтона–Кэли, спектр квантовой матрицы.
- Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.Построение конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений с помощью косообратимой R-матрицы. Характеры центральных элементов.
Элементы контроля
- Домашние заданияНакопленная оценка вычисляется как среднее арифметическое всех оценок за домашние задания.
- ЭкзаменВ случае, если накопленная за домашние задания оценка не ниже 8, она округляется до целых и выставляется как оценка за курс. Если накопленная оценка ниже 8, то оценка за курс вычисляется как округленная до целых полусумма накопленной оценки и оценки, полученной на экзамене.
