Бакалавриат
2022/2023
Анализ Фурье
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Преподаватели:
Вьюгин Илья Владимирович,
Глуцюк Алексей Антонович,
Дунин-Барковский Петр Игоревич,
Мариани Мауро,
Осипов Павел Сергеевич,
Попова Светлана Николаевна,
Такэбэ Такаси
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
104
Программа дисциплины
Аннотация
Курс анализ Фурье представляет собой последнюю часть двухгодичного курса анализа. Он посвящён изучению бесконечномерных пространств, снабженных топологией и их базисов. Преимущественно речь идёт о функциональных пространствах, таких, как L_1 и L_2.
Мы изучим возможность разложения функции по ортонормированному базису Фурье, то есть разложения в ряды Фурье. Основное внимание уделим базисам, состоящим из тригонометрических функций. Коэффициенты разложение фукции в ряд Фурье многое говорят о её свойствах. Представление функции в виде ряда Фурье позволит нам решать некоторые основные уравнения математической физики, описывающие основные явления природы, такие как колебания струны, диффузия, стационарные процессы.
Цель освоения дисциплины
- Освоение основ теории гильбертовых пространств, разложение в ряды Фурье по различным ортогональным системам.
- Изучение рядов Фурье по тригонометрическим системам и условий их сходимости.
- Применение рядов Фурье для решения основных уравнений математической (метод Фурье).
- Освоение преобразования Фурье и его применений.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с гилбертовыми пространствами
- Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
- Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
- Знакомство с пространствами L1 и L2
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
- Различные типы сходимости
Содержание учебной дисциплины
- Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
- Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
- Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
- Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
- Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
- Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
- Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
- Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
- Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
- Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
- Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
- Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
- Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
Элементы контроля
- КоллоквиумУстный коллоквиум за 3 модуль.
- Сдача листковЛистки сдаются устно преподавателям или учебным ассистентам. Задачи каждого необходимо сдавать до дедлайна.
- Оценка за семинарские занятия.Оценка за семинары выставляется руководителями семинарских занятий. В оценку могут входить: активность на семинаре, контрольные работы, домашние задания, устные отчёты студентов.
- Экзамен
