Бакалавриат
2023/2024
Математическая статистика (углубленный курс)
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)
Направление:
01.03.02. Прикладная математика и информатика
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
120
Программа дисциплины
Аннотация
“Математическая статистика (углубленный курс)” является самостоятельной учебной дисциплиной, относится к математическому и естественно- научному циклу дисциплин. Для специализации 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» настоящая дисциплина является базовой. В рамках курса слушатели познакомятся с теоретическими основами современной математической статистики ее основными результатами, научатся решать стандартные задачи в данной области. Курс носит продвинутый характер, слушатели смогут познакомиться с доказательствами большинства математических утверждений. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: “Машинное обучение 1”, “Машинное обучение 2”, “Statistical Learning Theory”, “Прикладная статистика в машинном обучении”.
Цель освоения дисциплины
- Уметь составлять вероятностно-статистические модели для описания случайных явлений и применять математические методы для их анализа.
- Знать основные методы построения точечных и интервальных оценок, проверки статистических гипотез, а также условия их применимости.
- Владеть байесовским подходом к построению оценок и проверке статистических гипотез.
- Уметь применять аппарат теории вероятностей для проверки основных свойств статистических оценок и анализа их численных характеристик.
Планируемые результаты обучения
- Уметь сравнивать различные точечные оценки и методы проверки гипотез.
- Владеть навыками решения стандартных задач по математической статистике.
- Уметь проводить статистические численные эксперименты с использованием языка программирования Python.
- Уметь реализовывать основные алгоритмы построения оценок и проверки статистических гипотез на языке программирования Python или использовать их готовые имплементации для анализа данных.
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия математической статистики. Вероятностно-статистическая модель, выборка, точечная оценка. Оптимальные оценки. Выборочные моменты, эмпирическая функция распределения. Порядковые статистики, вариационный ряд.
- Параметрическая и непараметрическая модели. Точечная оценка, сравнение оценок. Несмещенность, состоятельность и сильная состоятельность оценок. Асимптотическая нормальность оценок.
- Информация Фишера, функция правдоподобия, эффективные оценки и неравенство Рао-Крамера. Экспоненциальное семейство распределений. Сверхэффективные оценки.
- Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия.
- Условные математические ожидания и вероятности. Свойства условного математического ожидания.
- Достаточные статистики. Критерий факторизации. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова. Полные достаточные статистики. Теорема Басу.
- Интервальное оценивание. Доверительные интервалы. Центральная статистика.
- Байесовское оценивание. Байесовский риск. Априорное и апостериорное распределения. Сопряженное априорное распределение.
- Основные понятия статистической проверки гипотез. Простая и сложная гипотезы. Статистический критерий. Уровень значимости критерия. Ошибки первого и второго рода.
- Критерии согласия для проверки гипотезы о виде распределения. Критерий согласия Колмогорова. Статистика Колмогорова-Смирнова. Теорема Гливенко-Кантелли. Критерий Пирсона хи-квадрат для проверки простой и сложной гипотез о виде распределения.
- Наиболее мощный критерий. Лемма Неймана-Пирсона. Равномерно наиболее мощный критерий. Последовательный анализ Вальда.
- Байесовский подход к проверке гипотез.
- Проверка гипотез независимости и однородности. Критерии хи-квадрат для проверки гипотез независимости и однородности. Множественное тестирование, поправка Бонферрони.
- A/B-тестирование. Проверка гипотезы однородности в гауссовском случае, F-тест и t-тест.
- Модель линейной регрессии. Свойства оценки метода наименьших квадратов. Риск оценки метода наименьших квадратов.
- Нарушение линейного параметрического предположения в модели регрессии. Оценки риска, ошибка аппроксимации и стохастическая ошибка.
- Мисспецифицированный шум в модели линейной регрессии. Теорема Гаусса-Маркова.
- Проверка гипотез в модели линейной регрессии. Коэффициент детерминации.
- Интервальное оценивание в модели линейной регрессии.
- Выбор модели. Кросс-валидация. Несмещенная оценка риска, информационный критерий Акаике и байесовский информационный критерий.
- Непараметрическая оценка плотности. Ядерная оценка и метод k ближайших соседей.
- Непараметрическая регрессия. Оценка Надарая-Ватсона. Локально полиномиальное оценивание.
Промежуточная аттестация
- 2023/2024 учебный год 4 модульИтоговая оценка рассчитывается по формуле Итог = Округление(0.2 * ДЗ + 0.15 * K1 + 0.25 * КР + 0.15 * K2 + 0.25 * Э), где ДЗ — оценка за домашние задания, вычисляемая как отношение суммы набранных баллов за решения задач к максимальному количеству баллов, которое можно было набрать за решение всех задач из домашних заданий; K1 — оценка за первый коллоквиум, КР — оценка за контрольную работу, K2 — оценка за второй коллоквиум, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Введение в математическую статистику, Ивченко, Г. И., 2010
- Введение в математическую статистику, учебник, Изд. стер., 599 с., Ивченко, Г. И., Медведев, Ю. И., 2015
- Наглядная математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Лагутин, М. Б., 2019
Рекомендуемая дополнительная литература
- Бородин, А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики / А. Н. Бородин. — 9-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2023. — 256 с. — ISBN 978-5-507-47132-4. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/330488 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
- Математическая статистика : учебник, Боровков, А. А., 2007