2023/2024
Пространства Соболева в вероятности и геометрии
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Колесников Александр Викторович
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
36
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе мы обсудим неравенства Соболева и их связь с геометрическими задачами (изопериметрические неравенства, теория Брунна-Минковского, выпуклая геометрия, уравнение Монжа-Ампера) и вероятностью (гауссовы распределения, неравенства концентрации, стохастическая динамика и сходимость к равновесию). В курсе будут представлены как классические факты и задачи, так и их современное развитие, включая некоторые открытые вопросы.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с широким кругом вопросов современного анализа, вероятности и геометрии, включающим в себя задачи изопериметрического типа, пространства Соболева, концентрацию мер, анализ диффузионных операторов.
Планируемые результаты обучения
- Познакомиться с основными приемами доказательств изопериметрических неравенств
- Уметь доказывать основные теоремы вложения
- Освоить технику диффузионных полугрупп
- Освоить технику функциональных неравенств для вероятностных мер
- Познакомиться с открытыми вопросами геометрического анализа
Содержание учебной дисциплины
- Изопериметрические неравенства и неравенство Брунна-Минковского
- Оптимальный транспорт и пространства Соболева.
- Полугруппы и их приложения к функциональным неравенствам. Логарифмическое неравенство Соболева и неравенство Пуанкаре.
- Пространства Соболева на римановых многообразиях
- Логарифмически вогнутые меры
- Недавние результаты и открытые вопросы
- Смежные задачи
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Выпуклые многогранники, Александров, А. Д., 1950
- Выпуклые поверхности, Буземан, Г., 1964
Рекомендуемая дополнительная литература
- Интегральная геометрия и геометрические вероятности, Сантало, Л., 1983
- Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Трибель, Х., 1980