• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2023/2024

Группа кос, квантовые группы и приложения

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

В этом курсе мы обсуждаем несколько тем из теории групп кос и теории квантовых групп, в которых появляется и применяется один из самых известных объектов современной математической физики —— так называемая R-матрица. R-матрица в узком понимании этого термина, с которым мы, в основном, и будем иметь дело, —— это решение кубического матричного уравнения Янга-Бакстера, известного также как соотношение Артина, или уравнение кос. Сферы применения R-матриц в настоящее время очень разнообразны: от теории точно решаемых моделей квантовой механики, статистической физики и теории поля до проблем построения инвариантов узлов, структурной теории и теории представлений квантовых матричных алгебр. В курсе мы знакомим слушателей с алгебраическими структурами, порождающими R-матрицы, и обсуждаем различные приложения R-матриц в построении инвариантов узлов, в теории квантовых групп, и в исследовании интегрируемых моделей матфизики: квантовых ]спиновых цепочек и стохастических процессов (см. программу курса). Очень важные для современной теоретической физики приложения R-матриц в теории интегрируемых моделей также обсуждаются в матфизическом спецкурсе “Анзац Бете”.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление слушателей курса с современными методами теории интегрируемых систем, структурной теорией и теорией представлений ассоциативных алгебр, основанными на применении группы кос, алгебр Ивахори-Гекке и их R-матричных представлений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с различными R-матричными представлениями алгебр Ивахори-Гекке и группы кос. Изучение серий R-матриц Дринфельда-Джимбо и Кулиша-Склянина, а также их мультипараметрических обобщений.
  • Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке.
  • Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
  • Изучение основных свойств пуассоновой алгебры функций, гамильтоновых векторных полей и порождаемых ими потоков. Умение ограничить вырожденные скобки Пуассона на листы слоения, построение симплектической структуры по невырожденной скобке и наоборот. Выяснение роли пуассновых структур на многообразии в задаче деформационного квантования алгебры функций на нем.
  • Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
  • Освоение артинова (алгебраического) подхода к описанию групп кос в терминах генераторов и соотношений. Изучение различных наборов генераторов группы кос, описание центра группы кос, ознакомление с коммутативным набором элементов Юциса-Мэрфи.
  • Освоение критерия полупростоты алгебр Ивахори-Гекке и классификации их неприводимых представлений. Выработка навыков практической работы с неприводимыми представлениями алгебры Гекке в базисе, диагонализующем операторы Юциса-Мэрфи: построение тождеств в подалгебре элементов Юциса-Мэрфи; построение полного набора примитивных идемпотентов; вывод явных формул для матриц артиновых генераторов.
  • Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
  • Освоение свойств скобки Склянина на алгебре функций на группе и ее выражение через классическую r-матрицу. Построение квантовой версии для случая sl(2), умение проверить плоскость квантования.
  • Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.
  • Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.
  • R-матричные представления группы кос.
  • Марковский след на алгебре Ивахори–Гекке.
  • Понятие об алгебрах Хопфа.
  • Квантование пуассоновой алгебры.
  • Алгебра функций на группе и ее квантование.
  • Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).
  • Структура алгебры уравнения отражений.
  • Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий ДЗ по темам "Группа кос, ее представления и приложения"
    Письменное домашнее задание выдается студентам для выполнения в течение одного месяца
  • неблокирующий ДЗ по темам "Алгебры Хопфа, квантовые группы, квантовые матричные алгебры, и их представления"
    3 домашних задания выдаются для решения студентам каждое на 1 месяц
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2023/2024 4th module
    0.5 * ДЗ по темам "Алгебры Хопфа, квантовые группы, квантовые матричные алгебры, и их представления" + 0.5 * ДЗ по темам "Группа кос, ее представления и приложения"
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Основные структуры и методы теории представлений, Желобенко, Д. П., 2004

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, Фултон, У., 2006