Математические основы квантовой механики

2023/2024

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Пятов Павел Николаевич, Сапонов Павел Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс представляет собой введение в квантовую механику для студентов-математиков, не требующее серьезной базы физических знаний. Квантовая механика является важнейшим инструментом для исследования и описания явлений микромира и в настоящее время входит в обязательный образовательный минимум физиков-теоретиков и специалистов по математической физике. Модели квантовой механики послужили и продолжают служить источником вдохновения в открытии множества общезначимых и красивых конструкций и методов современной математики: в теории представлений групп и алгебр Ли, в функциональном анализе, в деформационном и геометрическом квантовании, теории квантовых групп и др.

Цель освоения дисциплины

Усвоение физических принципов квантовой механики и освоение математического аппарата на примере фундаментальных моделей (одномерное движение, гармонический осциллятор, атом водорода, системы тождественных частиц)

Планируемые результаты обучения

Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.

Содержание учебной дисциплины

Недостаточность классического описания явлений микромира
Основные постулаты канонического (операторного) квантования.
Квантование гармонического осциллятора
Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.
Полный набор наблюдаемых и проблема измерения
Трехмерное движение в центральном поле
Общая теория углового момента
Симметрии квантовых систем и законы сохранения
Квантовая теория тождественных частиц.
Интегрируемые модели квантовой механики.

Элементы контроля

Листок с заданиями по 1-й части курса (основные понятия + простейшие квантовые модели)
задания для самостоятельного решения и очного обсуждения с преподавателем
Листок с заданиями по 2-й части курса (угловой момент, атом водорода, тождественные частицы)
задания для самостоятельного решения и очного обсуждения с преподавателем

Промежуточная аттестация

2023/2024 2nd module
0.5 * Листок с заданиями по 1-й части курса (основные понятия + простейшие квантовые модели) + 0.5 * Листок с заданиями по 2-й части курса (угловой момент, атом водорода, тождественные частицы)

Программа дисциплины