Бакалавриат
2024/2025
Алгебра
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
7
Контактные часы:
84
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина направлена на освоение понятий и утверждений теории определителей, систем линейных уравнений и матричной алгебры; теории многочленов и комплексных чисел; основ теории линейных пространств; знакомство с теорией алгебраических систем (группа, кольцо, поле).
Цель освоения дисциплины
- Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
- Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
- Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.
Планируемые результаты обучения
- Знать определения и основные факты теории тензоров
- Знать определения и результаты теории билинейных и квадратичных форм
- Знать определения и результаты теории евклидовых и унитарных пространств
- Знать определения и результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
- Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
- Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
- Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
- Знать определения и утверждения теории векторных пространств
- Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
- Знать определения и утверждения теории линейных отображений
- Знать определения и утверждения теории матриц
- Знать определения и утверждения теории многочленов
- Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
- Знать основные определения и утверждения теории групп.
- Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
- Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
- Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
- Уметь вычислять определители.
- Уметь доказывать основные результаты теории групп
- Уметь доказывать основные факты теории тензоров
- Уметь доказывать результаты из теории матриц
- Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
- Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
- Уметь доказывать результаты теории билинейных и квадратичных форм
- Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
- Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
- Уметь доказывать результаты теории евклидовых и унитарных пространств
- Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
- Уметь доказывать результаты теории линейных операторов евклидовых пространств
- Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
- Уметь доказывать результаты теории многочленов
- Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
- Уметь находить координаты тензора в новом базисе, уметь выполнять действия с тензорами
- Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
- Уметь находить матрицу сопряженного оператора, уметь находить канонический вид самосопряженного оператора, ортогонального оператора, унитарного оператора.
- Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
- Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
- Уметь находить собственные числа и векторы линейного оператора, жорданову нормальную форму и жорданов базис линейного оператора, находить минимальный многочлен линейного оператора.
- Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
- уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
- Уметь ортогонализировать систему векторов, уметь находить ортогональное дополнение подпространства, уметь находить ортогональную проекцию на подпространство
- Уметь приводить квадратичную форму к главным осям
- Уметь приводить квадратичную форму к каноническому виду, уметь определять является ли форма положительно определенной
- Уметь решать задачи теории групп
- Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Содержание учебной дисциплины
- Поле комплексных чисел.
- Алгебра матриц.
- Метод последовательного исключения неизвестных.
- Теория определителей.
- Системы линейных алгебраических уравнений.
- Делимость в кольце целых чисел.
- Кольцо многочленов.
- Векторные пространства.
- Линейные отображения.
- Линейные операторы
- Билинейные и квадратичные формы.
- Евклидово (унитарное) пространство.
- Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств.
- Тензоры.
- Группы.
- Действие группы на множестве.
- р-группы, разрешимые и простые группы.
- Задание группы образующими и соотношениями.
- Конечные абелевы группы.
Элементы контроля
- Задачи повышенной сложности
- Итоговый устный опросОпрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
- коллоквиум
- контрольная работа
- Итоговый устный опрос 2 год
- Итоговый устный опросОпрос проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
- контрольная работа 2 год
Промежуточная аттестация
- 2023/2024 учебный год 2 модуль0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.15 * контрольная работа
- 2023/2024 учебный год 4 модуль0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.15 * Итоговый устный опрос + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.15 * Итоговый устный опрос + 0.6 * Итоговый устный опрос + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.15 * контрольная работа
- 2024/2025 учебный год 3 модуль0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.1 * Задачи повышенной сложности + 0.7 * Итоговый устный опрос 2 год + 0.7 * Итоговый устный опрос 2 год + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа 2 год + 0.15 * контрольная работа 2 год
- 2024/2025 учебный год 4 модуль0.7 * Итоговый устный опрос 2 год + 0.7 * Итоговый устный опрос 2 год + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа 2 год + 0.15 * контрольная работа 2 год
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
- Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
- Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
- Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
- Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
- Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
- Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017
Рекомендуемая дополнительная литература
- Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
- Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016