Бакалавриат
2024/2025
Мера и интеграл
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связанными с интегралом Лебега концепциями теории функций действительного переменного.
Цель освоения дисциплины
- Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с гилбертовыми пространствами
- Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
- Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
- Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
- Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними
- знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
- Знакомство с пространствами L1 и L2
- Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
- Преобразования Фурье. Свойства и применение
- Применение интеграла Фурье
- Различные типы сходимости
Содержание учебной дисциплины
- Измеримые функции, сходимость по мере
- Интеграл Лебега
- Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
- Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
- Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
- Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
- Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
- Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
- Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
- Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
- Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
- Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
- Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
- Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
- Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
- Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
- Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
- Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
- Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
- Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
- Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
- Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
- Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
- Обобщенные функции и действия с ними.
Промежуточная аттестация
- 2024/2025 2nd module0.5 * экзамен + 0.5 накопленной оценки Накопленная оценка = 0.4 * коллоквиум + 0.4 * среднее трех листков + 0.3 * оценка за семинар.
