2024/2025
Анализ нелинейных и многофазных процессов
Статус:
Маго-лего
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Преподаватели:
Данилов Владимир Григорьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Программа дисциплины
Аннотация
Методы анализа линейных систем развиты досконально. Но нелинейные системы, где нет обычного принципа суперпозиции, это, в общем случае, при наличии дисперсии почти непреодолимая задача для математики. Только для некоторых специальных однородных (с постоянными коэффициентами) нелинейных задач метод аналитического решения был недавно, в конце XX века, открыт и это вызвало огромный бум в математической теории. Но в присутствии неоднородности (переменных коэффициентов) и этот метод не работает. Незнание законов суперпозиции серьезно затрудняет математическое моделирование тех нелинейных процессов, в которых существенную роль играет распространение и взаимодействие волн. Таких процессов очень много, например, возникновение и перемещение границы раздела фаз “твердое вещество” – “жидкость”, динамика популяций, распространение импульсов по нервным волокнам, образование пробок в дорожном движении и т.д. Для задач такого типа, уже совсем недавно, в последние два десятилетия, был разработан метод «слабых асимптотик». Оказалось, что при наличии в нелинейной системе малых параметров удается, хоть и асимптотически по этим параметрам, но зато вполне конструктивно находить законы нелинейной суперпозиции и эффективно исследовать математические модели указанных выше и других нелинейных волновых процессов, в том числе, в неоднородных средах. Это продвигает возможности математического моделирования нелинейных систем на качественно новый уровень, а совместно с применением компьютерных расчетов создает прорыв в большом числе старых и трудных проблем, важных для развития новых технологий. В данном курсе на максимально простом уровне обсуждаются перечисленные явления, излагаются основные идеи и алгоритмы новых, конструктивных методов математического моделирования нелинейных процессов.