• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Многогранники Ньютона и числа корней неалгебраических систем уравненийNewton polytopes and numbers of roots of non-algebraic systems

Соискатель:
Казарновский Борис Яковлевич
Члены комитета:
Гусейн-Заде Сабир Меджидович (МГУ имени М.В. Ломоносова, д.ф.-м.н., председатель комитета), Алескер Семен Викторович (Тель-Авивский университет, Израиль, PhD, член комитета), Васильев Виктор Анатольевич (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, академик РАН, д.ф.-м.н., член комитета), Кириченко Валентина Алексеевна (НИУ ВШЭ, д. мат. наук, член комитета), Шапиро Борис Залманович (Стокгольмский университет, Швеция, PhD, член комитета)
Диссертация принята к предварительному рассмотрению:
4/15/2022
Диссертация принята к защите:
4/15/2022
Дисс. совет:
Совет по математике
Дата защиты:
10/11/2022
Найденная в теореме Кушниренко-Бернштейна связь между числами решений систем полиномиальных уравнений и смешанными объемами некоторых выпуклых тел (многогранников Ньютона) выживает также вне контекста алгебраической геометрии.
Во второй части рассматриваются системы уравнений на произвольном гладком многообразии $X$.
Оказывается, что в этом случае ожидание числа совместных нулей системы уравнений равно смешанному симплектическому объему некоторых банаховых тел.
Банаховым телом на $X$ называется семейство компактных выпуклых центрально симметричных множеств в слоях $T_x^*X$ кокасательного расслоения многообразия $X$.
Объединение этих множеств является областью в $T^*X$. Симплектическим объемом банахова тела называется объем этой области, измеренный при помощи стандартной симплектической структуры $T^*X$.
В первой части рассматриваются экспоненциальные многообразия, т.е. аналитические множества в ${\mathbb C}^n$, заданные как нулевые множества конечных систем экспоненциальных сумм.
В алгебраической геометрии "кольцом условий"\ называется построенное De Concini и Procesi кольцо теории пересечений на однородных сферических многообразиях.
Мы определяем индекс пересечения экспоненциальных многообразий и строим соответствующее "кольцо условий"\ пространства ${\mathbb C}^n$.
Это кольцо вычисляется в терминах выпуклой геометрии. Его применение позволяет перенести некоторые вычисления с многогранниками Ньютона в контекст экспоненциальных многообразий.
Диссертация [*.pdf, 5.12 Мб] (дата размещения 9/8/2022)
Резюме [*.pdf, 489.92 Кб] (дата размещения 9/8/2022)
Summary [*.pdf, 447.89 Кб] (дата размещения 9/8/2022)

Публикации, в которых излагаются основные результаты диссертации

Б. Я. Казарновский. Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна? Матем. сб., 2022, том 213, номер 4, 3 – 13 (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский. Квазиалгебраическое кольцо условий пространства $\mathbb C^n$, Изв. РАН. Сер. матем. 86:1 (2022), 180--218 (смотреть на сайте журнала)
Б. Казарновский, А. Хованский, А. Эстеров. Многогранники Ньютона и тропическая геометрия. УМН, 2021, (76:1), 95 -- 190. (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский. Среднее число решений систем уравнений. Функц. анализ и его приложения. 2020, т. 54, вып. 2, с. 35--47; (смотреть на сайте журнала)
D. Akhiezer, B. Kazarnovskii. Average number of zeros and mixed symplectic volume of Finsler sets. Geom. Funct. Anal. Vol. 28 (2018) 1517—1547 (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский. Об умножении коциклов полиэдрального комплекса. Изв. РАН. Сер. матем., 2017, том 81, выпуск 2, 97--128. (смотреть на сайте журнала)
Д. Н. Ахиезер, Б. Я. Казарновский. Оценка среднего числа общих нулей собственных функций оператора Лапласа. Труды ММО, 2017, том 78, выпуск 1, 145--154. (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский, А. Г. Хованский. Тропическая нетеровость и базисы Грёбнера. Алгебра и анализ, 2014, том 26, выпуск 5, 142--163. (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский. Действие комплексного оператора Монжа–Ампера на кусочно линейных функциях и экспоненциальные тропические многообразия. Изв. РАН. Сер. матем., 2014, том 78, выпуск 5, 53--74. (смотреть на сайте журнала)
Б. Я. Казарновский. О действии комплексного оператора Монжа–Ампера на кусочно-линейных функциях. Функц. анализ и его прил., 2014, том 48, выпуск 1, 19--29. (смотреть на сайте журнала)


Отзывы
Отзыв члена Комитета
Сведения о результатах защиты:
Комитет по диссертации рекомендовал присудить ученую степень доктора математических наук (Протокол № 3 от 11.10.2022 г.).Решением диссертационного совета НИУ ВШЭ по математике (Протокол № 7 от 14 октября 2022 г.) присуждена ученая степень доктора математических наук.
См. на ту же тему

Многогранники Ньютона, разреженные результанты и перечисление особенностейКандидатская диссертация

Соискатель: Воорхаар Арина Андреевна
Руководитель: Эстеров Александр Исаакович
Дата защиты: 9/28/2022