Модули топологической сопряженности Ω-устойчивых потоков на поверхностяхModuli of Topological Conjugacy of Ω-stable Flows on Surfaces
Соискатель:
Круглов Владислав Евгеньевич
Руководитель:
Члены комитета:
Тиморин Владлен Анатольевич (НИУ ВШЭ, PhD, д. ф.-м. н., председатель комитета), Алфимов Георгий Леонидович («Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники», д. ф.-м. н., член комитета), Ведюшкина Виктория Викторовна (МГУ имени М.В.Ломоносова, д. ф.-м. н., член комитета), Жужома Евгений Викторович (Нижегородский филиал НИУ ВШЭ, д. ф.-м. н., член комитета), Кащенко Илья Сергеевич ( Ярославский государственный университет им. П.Г Демидова, д. ф.-м. н., член комитета)
Диссертация принята к предварительному рассмотрению:
3/3/2023
Диссертация принята к защите:
3/3/2023
Дисс. совет:
Совет по математике
Дата защиты:
6/21/2023
При качественном изучении потоков с конечным числом неподвижных точек и замкнутых траекторий традиционно используется метод выделения ячеек, то есть областей с одинаковым асимптотическим поведением траекторий. Классическими комбинаторными инвариантами таких потоков являются, например, схема Леонтович-Майера дляпотоков в ограниченной части плоскости, ориентированный граф Пейшото и молекула Ошемкова-Шарко для потоков Морса-Смейла на произвольных замкнутых поверхностях, орбитальный комплекс Неймана-О’Брайена для класса потоков на произвольных замкнутых поверхностях, содержащего Ω-устойчивые потоки. Все перечисленные инварианты различают потоки только с точностью до топологической эквивалентности. Классификация с точностью до топологической сопряжённости в некоторых классах потоков даже с очень простой динамикой становится намного сложнее за счёт возникновения модулей топологической сопряжённости (модулей устойчивости), открытых Ж. Палисом. Простейшим примером модуля топологической сопряжённости является период предельного цикла, однако это далеко не единственный случай возникновения модулей, и их описание становится весьма нетривиальной задачей. Целью настоящей работы является нахождение модулей топологической сопряжённости у Ω-устойчивых потоков на поверхностях, выделение подклассов с конечным числом модулей и классификация потоков с конечным числом модулей с точностью до топологической сопряжённости, включая реализацию инвариантов и построение эффективных алгоритмов распознавания их изоморфности. В рамках исследования: -- доказано, что градиентно-подобные потоки на поверхностях топологически сопряжены тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны; -- построены эффективные алгоритмы распознавания изоморфности основных топологических инвариантов градиентно-подобных потоков на поверхностях;-- установлено, что в общем случае потоки Морса-Смейла на поверхностях имеют бесконечное число модулей, получен критерий конечности числа модулей;-- для потоков Морса-Смейла с конечным числом модулей получен полный инвариант топологической сопряжённости -- оснащённый граф;-- для Ω-устойчивых потоков получена полная топологическая классификация в смысле эквивалентности посредством оснащённого графа;-- установлено, что потоки со сколь угодно длинной цепочкой седловых связок имеют конечное число модулей топологической сопряжённости.
Диссертация [*.pdf, 3.86 Мб] (дата размещения 4/12/2023)
Резюме [*.pdf, 2.32 Мб] (дата размещения 4/12/2023)
Summary [*.pdf, 1.87 Мб] (дата размещения 4/12/2023)
Публикации, в которых излагаются основные результаты диссертации
Круглов В. Е. О числе модулей градиентных потоков функции высоты поверх- ности // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 419-428. (смотреть на сайте журнала)
Круглов В. Е., Малышев Д. С., Починка О. В. Многоцветный граф как полный топологический инвариант для Ω-устойчивых потоков без периодических траек- торий на поверхностях // Математический сборник. 2018. Т. 209. № 1. С. 100-126. (смотреть на сайте журнала)
Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O. Topological Classification of Ω-stable Flows on Surfaces by Means of Effectively Distinguishable Multigraphs // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2018. Vol. 38. No. 9. P. 4305-4327. (смотреть на сайте журнала)
Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O. On Algorithms that Effectively Distinguish Gradient-Like Dynamics on Surfaces // Arnold Mathematical Journal. 2018. Vol. 4. No. 3-4. P. 483-504. (смотреть на сайте журнала)
Kruglov V., Pochinka O., Talanova G. On functional moduli of surface flows // Proceedings of the International Geometry Center. 2020. Vol. 13. No. 1. P. 49-60. (смотреть на сайте журнала)
Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O., Shubin D. On Topological Classification of Gradient-like Flows on an n-sphere in the Sense of Topological Conjugacy // Regular and Chaotic Dynamics. 2020. Vol. 25. No. 6. P. 716-728. (смотреть на сайте журнала)
Kruglov V., Pochinka O. Criterion for the Topological Conjugacy of Multi- Dimensional Gradient-Like Flows with No Heteroclinic Intersections on a Sphere / Пер. с рус. // Journal of Mathematical Sciences. 2020. Vol. 250. P. 22-30. (смотреть на сайте журнала)
Круглов В. Е., Починка О. В. Классификация с точностью до топологической со- пряженности потоков Морса – Смейла с конечным числом модулей устойчивости на поверхностях // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2021. Т. 29. № 6. С. 835-850. (смотреть на сайте журнала)
Отзывы
Отзыв научного руководителя
- Отзыв научного руководителя (дата размещения 3/9/2023)
Сведения о результатах защиты:
Комитет по диссертации рекомендовал присудить ученую степень кандидата математических наук (Протокол №2 от 21 июня 2023 г.).Решением диссертационного совета НИУ ВШЭ по математике (Протокол № 3 от 27 июня 2023 г.) присуждена ученая степень кандидата математических наук
См. на ту же тему
Топологическая и гомотопическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностяхКандидатская диссертация
Соискатель: Морозов Андрей Игоревич
Руководитель: Починка Ольга Витальевна
Дата защиты: 9/2/2024