• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Алгебра

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
3
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно-научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: школьными знаниями и компетенциями, основными понятиями линейной алгебры и теории множеств. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: криптографические методы защиты информации, криптографические протоколы, теоретико-числовые методы в криптографии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Применение соответствующего математического аппарата для формализации, анализа и решения проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности
  • Решение систем линейных уравнений над полем и кольцом вычетов
  • Проведение эффективных вычислений в кольцах вычетов и кольцах многочленов
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание основных определений, понятий и свойств конечных групп, колец и полей
  • Знание условий и методов разложения конечных групп и колец вычетов в прямую сумму
  • Знание методов решения линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
  • Знание формулировок китайской теоремы об остатках для чисел и многочленов
  • Знание свойств конечных полей и их подполей
  • Знание методов построения примитивных элементов конечного поля
  • Знание строения поля разложения для неприводимого многочлена над конечным полем
  • Знание методов оценки периодов многочленов над конечным полем
  • Умение проводить вычисления в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях
  • Умение находить число решений (и сами решения) линейных и квадратных уравнений над кольцами вычетов
  • Умение вычислять периоды многочленов над конечным полем
  • Умение востанавливать изоморфизм заданного кольца вычетов с прямой суммой колец вычетов
  • Приобретение опыта проведения вычислений в числовых и конечных группах, кольцах вычетов и полях
  • Приобретение опыта нахождения корней многочленов в конечном поле
  • Приобретение опыта вычисления периода многочленов над конечным полем
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Группа, подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Порядок элемента группы, циклическая группа, описание множества образующих элементов циклической группы (Zn,+).
  • Гомоморфизм групп, ядро гомоморфизма. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Характеры групп
  • Внешнее и внутреннее прямое произведение (сумма) групп. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Кольцо, подкольцо, идеал, фактор-кольцо. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Характеристика кольца, делители нуля, обратимые элементы. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Гомоморфизм и изоморфизм колец. Примеры на основе колец Z, Zn, F[x], F[x]/f(x).
  • Кольцо многочленов F[x] над полем F
    Кольцо многочленов F[x] над полем F, деление с остатком, формула для остатка от деления многочлена f(x) на одночлен (x-a), критерий отсутствия кратных корней у многочлена над полем, оценка числа различных корней.
  • Кольцо многочленов F[x]/f(x) над полем F по модулю заданного многочлена f(x), критерий отсутствия в данном кольце делителей нуля.
  • Критерий мультипликативной обратимости и методы нахождения обратного элемента для колец Zn и F[x]/f(x)
  • Неприводимые многочлены
    Неприводимые многочлены, критерий неприводимости для многочленов степени ≤ 3, описание всех неприводимых многочленов степени ≤ 3 над полем из двух элементов.
  • Идеалы колец K{Z, Zn, F[x], F[x]/f(x)}.
    Идеалы колец K{Z, Zn, F[x], F[x]/f(x)}. Доказательство того, что каждый идеал этих колец является главным идеалом. Критерий совпадения идеала J=a∙K с кольцом K.
  • Критерий максимальности идеалов J=a∙K
  • Китайская теорема об остатках для чисел и многочленов.
  • Условия разложимости кольца K{Zn, F[x]/f(x)} в прямую сумму колец.
  • Методы решения уравнений
    Методы решения уравнений (оценки числа решений) и нахождения мультипликативных порядков элементов в кольце K{Zn, F[x]/f(x)} (критерий наличия решений уравнения ax=b, оценка числа решений данного уравнения, связь с решениями уравнения ax=0).
  • Отношение эквивалентности, смежные классы по подгруппе как классы эквивалентности. Примеры на основе групп (Z,+), (Zn,+), (Zn*,∙), Sn.
  • Основные понятия и свойства теории конечных полей.
  • Описание конечного поля GF(q) как поля разложения многочлена xq-x=0.
  • Описание подполей конечного поля GF(q).
  • Алгебраические элементы поля над заданным подполем. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.
  • Поле разложения неприводимого многочлена над конечным полем.
  • Примитивные элементы конечного поля
    теорема существования, число примитивных элементов, описание всех примитивных элементов через степени одного из них, алгоритмы проверки примитивности элементов поля, примеры на основе полей Zp и F[x]/f(x)
  • Функция след и ее свойства
  • Квадратичные вычеты и невычеты в поле Zp
    описание через степени примитивного элемента, доказательство равномощности множеств вычетов и невычетов
  • Символы Лежандра и Якоби, формула Эйлера
    использование для проверки неприводимости квадратного многочлена над полем Zp
  • Период многочлена над конечным полем. Методы нахождения периода многочлена, многочлены максимального периода.
  • Методы нахождения корней многочленов над полем Zp.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Итоговая аттестация
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.5 * Итоговая аттестация + 0.5 * Контрольная работа 1
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Алгебра : Основы теории конечных групп,колец,полей: учебное пособие, Рожков М. И., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Авдошин С.М., Набебин А.А. — Дискретная математика. Модулярная алгебра, криптография, кодирование - Издательство "ДМК Пресс" - 2017 - ISBN: 978-5-97060-408-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/93575
  • - Воскресенский В.Е. — Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп - Московский центр непрерывного математического образования - 2009 - ISBN: 978-5-94057-522-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9315