Математический анализ

2025/2026

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

11

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Гонцов Ренат Равилевич

Дунин-Барковский Петр Игоревич

Илларионов Андрей Анатольевич

Калмынин Александр Борисович

Маршалл Йен Донен

Медведев Владимир Олегович

Попова Светлана Николаевна

Сивкин Владимир Николаевич

Уваров Филипп Викторович

Шилин Иван Сергеевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).

Цель освоения дисциплины

• Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
• Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.

Планируемые результаты обучения

• Понимание основных аксиом поля вещественных чисел и аксиомы Архимеда. Умение выводить следствия из аксиом и доказывать утверждения, связанные с вещественными числами. Освоение отличительных свойств натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Способность ясно и обоснованно объяснять структуру и свойства множества вещественных чисел
• Понимание и владение определением предела последовательности, критериями сходимости и расходимости. Умение доказывать лемму о двух милиционерах, теорему Вейерштрасса и критерий Коши. Владение понятиями подпоследовательностей, частичных пределов, верхнего и нижнего предела.
• Понимание и применение критериев сходимости числовых рядов. Умение пользоваться признаком Коши и признаками сходимости положительных рядов. Владение примерами важных рядов (геометрическая прогрессия, гармонический ряд). Осведомленность о числе е , его представлении в виде ряда и свойствах иррациональности.
• Четкое понимание и уверенное использование понятия предела функции, односторонних пределов и типов разрывов. Умение применять теоремы о непрерывности, замене переменных и признаках существования пределов. Владение глобальными свойствами непрерывных функций, такими как ограниченность, теорема о промежуточном значении и сохранение компакта. Освоение важнейших элементарных функций, их свойств и связи с непрерывностью.
• Понимание и умение вычислять производные и дифференциалы функций. Владение правилами дифференцирования сложных, параметрических и неявных функций. Уверенное применение теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и правила Лопиталя. Знание производных высших порядков, формулы Тейлора и остаточного члена, умение раскрыть неопределённости.
• Понимание и применение понятия функции многих переменных. Определение и исследование пределов функций нескольких переменных. Оценка непрерывности функций многих переменных в точке и на множестве.
• Понимание смысла и основных свойств неопределённого интеграла. Владение полным набором классических методов интегрирования и способностью выбрать оптимальный метод для конкретной задачи. Умение устанавливать интегрируемость функций, оценивать значения интегралов и применять специальные функции. Возможность уверенно решать сложные задачи интегрирования, использовать неравенства и специализированные методы
• Освоение понятий и методов дифференцирования отображений из R n R n в R k R k . Умение применять теоремы о среднем и принципе сжимающих отображений. Понимание теорем о неявных и обратных функциях, достаточных условий дифференцируемости и градиенте. Владение понятием ранга отображения, классификацией отображений постоянного ранга и условиями экстремума функций многих переменных. Освоение теории условных экстремумов, леммы Морса и основ теории поверхностей.
• Понимание сути понятий точного верхнего и нижнего значений, счетности и несчетности, плотности множества, структуры поля и топологических характеристик множеств; знание теоретических положений, относящихся к решению предложенных задач, включая строение Канторова множества, свойства интервалов и лучеобразных областей в упорядоченном поле; умение применять теоретические знания для доказательства утверждений, нахождения точных значений границ множеств.
• Понимание сути понятий предела функции, способа разложения функции в ряд Тейлора, метода исследования функций для построения графика. Знание теоретических оснований для вычисления пределов, вывода и применения неравенств, разложения функций в ряды Тейлора, а также техники построения графиков функций. Умение вычислять пределы, доказывать неравенства, разлагать функции в ряды Тейлора и строить графики функций, исследуя их поведение вблизи особых точек и определяя асимптоты.
• Понимание основ абсолютной и условной сходимости числовых рядов, области определения и дифференцируемости функций, методов интегрирования; знание методов исследования сходимости числовых рядов, определения области определения функции, методов интегрирования; умение анализировать сходимость рядов при различных параметрах, находить область определения функции и исследовать её на дифференцируемость, вычислять интегралы различных типов.
• Понимание основных понятий и методов, связанных с существованием и вычислением несобственных интегралов, площадью плоской фигуры и длиной дуги кривой; знание теоретических основ анализа сходимости несобственных интегралов, методов интегрирования и формул для вычисления площадей и длин дуг кривых; умение исследовать сходимость несобственных интегралов, вычислять их значения, находить площади плоских фигур, образованных параметрическими линиями, и вычислять длину дуги заданной кривой.
• Освоение понятий и методов дифференцирования отображений из R^n R^n в R ^k R ^k . Умение применять теоремы о среднем и принципе сжимающих отображений. Понимание теорем о неявных и обратных функциях, достаточных условий дифференцируемости и градиенте. Владение понятием ранга отображения, классификацией отображений постоянного ранга и условиями экстремума функций многих переменных. Освоение теории условных экстремумов, леммы Морса и основ теории поверхностей.
• Понимание понятий ограниченных множеств, предельных и граничных точек, компактности и секвенциальной компактности. Владение теоремами о вложенных промежутках, Бэра, леммой Гейне-Бореля. Умение применять полученные знания при решении задач, связанных с анализом и топологией.

Содержание учебной дисциплины

• I. I. Элементы теории вещественных чисел.
• I.II. Элементы общей топологии.
• I.III. Теория числовых последовательностей.
• I.IV. Элементы теории числовых рядов.
• I.V. Теория непрерывных функций одной переменной.
• I.VI. Элементы дифференциального исчисления.
• I.VI. Теория экстремумов функции одной одной переменной.
• I.VII. Элементы теории функции многих переменных*.
• II.I. Числовые и функциональные ряды
  Понимание и умение исследовать знакопеременные числовые ряды, бесконечные произведения и перестановки членов ряда. Владение понятием функциональных рядов и критерием равномерной сходимости. Умение производить операции над рядами, включая двойные и повторные ряды, степенные ряды и аналитические функции.
• II.II. Неопределенный интеграл и интеграл Римана
• II.III. Функции многих переменных.

Элементы контроля

• Домашнее задание (осенний семестр) №1-4
  Каждая задача в ДЗ оценивается в 1 балл, Итоговая оценка ДЗ= количество верно решенных задач. Максимальный балл 10.
• Коллоквиум (осенний семестр)
• Экзамен (осенний семестр)
• Домашнее задание (весенний семестр) № 1-4
• Контрольная работа №1-3 (весенний семестр)
• Колллоквиум (весенний семестр)
• экзамен (весенний семестр)
• Контрольная работа №1-3 (осенний семестр)

Промежуточная аттестация

• 2025/2026 2nd module
  0.2 * Домашнее задание (осенний семестр) №1-4 + 0.3 * Коллоквиум (осенний семестр) + 0.2 * Контрольная работа №1-3 (осенний семестр) + 0.3 * Экзамен (осенний семестр)
• 2025/2026 4th module
  Итоговая оценка за весенний семестр = min (экзамен (0.3) + коллоквиум (0.25)+ контрольные работы (0.3 в сумме) + оценки за листки (0.25); 10). Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Оценка за листки считается как отношение числа сданных задач к числу листков. Пункты, обозначенные (a), (b), (c), учитываются как отдельные задачи, а пункты, обозначенные (i), (ii), (iii), — как части одной задачи. Если оценка по этой формуле больше 10, ставится 10, а превышение над 10 конвертируется в бонусные баллы, которые прибавляются к итоговой оценке с тем же весом, что оценка за листки. Выставлять "автоматы" не планируется. В отдельных случаях семинарист может по своему усмотрению с согласия студента освободить студента от экзамена и выставить итоговую оценку по накопленной, которая вычисляется как сумма с теми же весами, умноженная на 10/8.5.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1: ., Фихтенгольц, Г. М., 2003
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2: ., Фихтенгольц, Г. М., 2001
• Лекции по математическому анализу, Львовский, С. М., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математический анализ. Ч.1: ., Зорич, В. А., 2007
• Математический анализ. Ч.2: ., Зорич, В. А., 1998
• Основы математического анализа, Рудин, У., 2002

Авторы

• Медведев Владимир Олегович
• Богачев Владимир Игоревич
• Шилин Иван Сергеевич