Кто читает:: Факультет математики

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 3-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Дымов Андрей Викторович

Клименко Алексей Владимирович

Мариани Мауро

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Настоящий курс охватывает основы теории вероятностей. Рассматриваются фундаментальные понятия, такие как вероятность, случайные величины, независимость событий и случайных величин, важные типы распределений и неравенства. Особое внимание уделено законам больших чисел, центральной предельной теореме, многомерному нормальному распределению и условным математическим ожиданиям. Изучается взаимосвязь между различными видами сходимости случайных величин и использование характеристических функций для анализа распределений. Материал предназначен для формирования прочной базы знаний в области теории вероятностей и подготовки к решению прикладных задач.

Цель освоения дисциплины

Глубокое освоение понятийного аппарата и методов анализа случайных величин и событий, включая условные вероятности, независимости, виды распределений и законы больших чисел. Изучение структуры многомерных нормальных распределений, условных математических ожиданий и плотностей, необходимых для эффективного моделирования сложных стохастических процессов. Овладение аппаратом характеристических функций и методологией сходимости случайных величин, позволяющими анализировать поведение произвольных случайных переменных и строить надёжные статистические выводы.

Планируемые результаты обучения

знание концепции вероятностного пространства, основных свойств вероятности и умение описывать непрерывность вероятности снизу и сверху, демонстрируя понимание их взаимосвязи и применимости в решении задач теории вероятностей.
знание условной вероятности, умение применять формулу полной вероятности и теорему Байеса для решения задач
знание попарной и совокупной независимости событий, умение формулировать и применять вероятностную модель для независимых испытаний, что позволит эффективно решать задачи, связанные с многократными случайными экспериментами
знание двух лемм Бореля-Кантелли и применение их для анализа бесконечной последовательности случайных событий, умение делать выводы о вероятности наступления почти наверное некоторых событий.
знание основных типов распределений случайных величин (дискретные, абсолютно непрерывные и непрерывные сингулярные), умение выделять дискретную, непрерывную сингулярную и абсолютно непрерывную компоненты распределения, знание понятия плотности распределения и умение вычислять плотность компонент случайного вектора, зная совместное распределение.
Освоение понятия функции распределения случайной величины, её основных свойств, установление связи между функцией распределения и плотностью абсолютно непрерывной случайной величины. Изучение конструкции функции распределения для случайного вектора
Освоение понятия независимости случайных величин, изучение совместных распределений, плотностей и функций распределения независимых случайных величин. Овладение методом вычисления плотности суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин и приобретение навыков построения независимых случайных величин.
Освоение и понимание других характеристик случайных величин, таких как дисперсия, высшие моменты, ковариация, коэффициент корреляции, а также статистических показателей — медианы и квантилей, изучение их свойств и применение в теории вероятностей.
Освоение понятия производящей функции целочисленных неотрицательных случайных величин, изучение методов вычисления математического ожидания и дисперсии через производящую функцию, а также понимание свойств производящих функций для суммы независимых случайных величин, включая ситуации, когда число слагаемых случайно.
Освоение важнейших дискретных распределений случайных величин: распределение Бернулли, биномиальное распределение и его связь с распределением Бернулли, распределение Пуассона и теорема Пуассона, геометрическое распределение.
Освоение важнейших непрерывных распределений случайных величин: равномерное, нормальное (гауссовское), экспоненциальное (показательное) и распределение Коши.
Изучение и освоение основных неравенств теории вероятностей: неравенство Коши-Буняковского, неравенство Йенсена, неравенство Маркова, неравенство Чебышёва, а также неравенство Хёфдинга для случая одинаково распределённых и независимых случайных величин.
Освоение закона больших чисел в форме Чебышёва, понимание его применения в задачах статистики и теории вероятностей. Изучение метода Монте-Карло для численного моделирования и приближённых вычислений. Овладение вероятностным подходом к доказательству теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
Освоение различных типов сходимости случайных величин.
Освоение слабой сходимости мер и сходимости случайных величин по распределению, изучение теоремы Портманто и теоремы Прохорова, а также понимание связи между сходимостью по распределению и сходимостью функций распределения.
Освоение характеристических функций и их свойств, теоремы обращения, изучение характеристической функции случайного вектора и понимание связи характеристических функций с независимостью случайных величин.
Освоение связи между сходимостью случайных величин по распределению и сходимостью их характеристических функций.
знание законов больших чисел в форме Хинчина, центральной предельной теоремы и усиленного закона больших чисел для независимых одинаково распределённых случайных величин. Умение применять эти законы для анализа случайных процессов и оценки статистической устойчивости.
Освоение студентами понятия многомерного нормального распределения, включая три эквивалентных определения, форму плотности в невырожденном случае и понимание связи между некоррелированностью и независимостью компонент многомерных гауссовских векторов.
Понимание концепции условных математических ожиданий и вероятностей относительно сигма-алгебр, усвоение теоремы существования, методики вычислений условных характеристик относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной, и изучение свойств условной плотности распределения случайного вектора в абсолютно непрерывном случае.
Освоение понятия математического ожидания случайной величины, изучение его свойств и выражения через интеграл по распределению. Изучение частных случаев математического ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин, а также свойства математического ожидания произведения независимых случайных величин.

Содержание учебной дисциплины

1. Вероятностное пространство.
2. Условная вероятность.
3. Независимость событий.
4. Леммы Бореля-Кантелли.
5. Случайные величины и их распределения.
6. Функции распределения и их свойства.
7. Независимость случайных величин.
8. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
9. Другие характеристики случайных величин и их свойства.
10. Производящая функция целочисленной неотрицательной случайной величины.
11. Важнейшие дискретные распределения.
12. Важнейшие непрерывные распределения.
13. Неравенства.
14. Закон больших чисел в форме Чебышёва.
15. Типы сходимостей случайных величин и их связи: почти наверное, в Lp, по вероятности, по распределению.
16. Слабая сходимость мер и сходимость случайных величин по распределению.
17. Характеристические функции и их свойства.
18. Связь сходимости по распределению с характеристическими функциями.
19. Закон больших чисел в форме Хинчина и центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
20. Многомерное нормальное распределение.
21. Условные мат. ожидания и вероятности относительно сигма-алгебр.

Элементы контроля

Маленькие контрольные работы
каждая приносит максимум 2 балла, (итого максимум можно набрать 14 баллов). Предварительные даты контрольных каждые две недели, включая время сессии.
Большая контрольная работа
в сессию октября, в ней можно набрать до 3-х баллов.
Листочки
Каждый листок оценивается в 1 балл и входит в НАКОП
Тест
без теста получить итоговую оценку невозможно
Экзамен
дающий вклад в накопления до 2-х балл
Бонусы за активную работу при обсуждениях на семинаре
суммарно до 3-х баллов

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
минимум из 10 и стандартно округленной половины всех накопленных (с учетом результатов теста) баллов.

Список литературы

Авторы

Хохлов Андрей Владимирович
Колесников Александр Викторович
Мариани Мауро
Богачев Владимир Игоревич
Клименко Алексей Владимирович
Дымов Андрей Викторович
Кузнецова Ирина Михайловна

Бакалаврская программа «Математика»

Теория вероятностей

Преподаватели

Программа дисциплины