Дифференциальная геометрия

Бакалавриат 2021/2022

Статус: Курс обязательный (Математика)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 3-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Яковлев Евгений Иванович

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 134

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В первой части семинара "Дифференциальная геометрия" изучается классическая геометрия кривых и поверхностей. Особое внимание уделяется геодезическим линиям и их свойствам. В частности, доказываются теоремы Клеро и описывается качественное поведение геодезических на поверхностях вращения. Вторая часть семинара посвящена введению в теорию гладких многообразий и риманову геометрию. Изучается теория гладких тензорных полей на многообразиях и, в частности, внешних форм. Определяется интегрирование внешних форм и доказывается формула Стокса. Активное изучение теоретических вопросов достигается благодаря решению многочисленных задач и упражнений.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление с основными понятиями современной дифференциальной геометрии и ее приложениями. Изучение основ геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения геометрических задач. Формирование у студентов представлений о дифференциальной геометрии, как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

Знание основных понятий и теорем теории гладких поверхностей. Умение вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности и применять их при решении задач дифференциальной геометрии.
Знание основных понятий тензорного исчисления на поверхностях. Навыки работы с гладкими тензорными полями на поверхностях.
Знание основных понятий теории гладких многообразий. Умение строить дифференциальные структуры, проверять гладкость и регулярность отображений, находить касательные пространства и их голономные базисы, задавать ориентации.
Знание теории вектор-функций, умение дифференцировать вектор-функции одного и двух переменных
Знание теории гладких кривых. Умение вычислять кривизну и кручение пространственных кривых, вычислять базис Френе, составлять уравнения элементов трехгранника Френе и натуральных уравнений для плоских кривых.
Знание теории интегрирования внешних форм на многообразиях. Умение вычислять интегралы от форм с помощью формулы Стокса, проверять точность внешних форм с применением теоремы де Рама.
Знание теории параллельного переноса и геодезических линий. Умение составлять дифференциальные уравнения геодезических линий и решать их в частных случаях. Навыки описания качественного поведения геодезических на поверхностях вращения.
Знание теории тензорных полей и, в частности, теории внешних форм на гладких многообразиях. Умение проверять гладкость тензорных полей, вычислять скобки Ли векторных полей, внешние произведения и внешние дифференциалы форм, кодифференциалы гладких отображений

Содержание учебной дисциплины

Анализ вектор-функций
Гладкие кривые
Гладкие поверхности
Тензорные поля на поверхностях
Геодезические линии на поверхностях
Гладкие многообразия
Тензорные поля и внешние формы на многообразиях
Интегрирование на многообразиях

Элементы контроля

Контрольная работа
Задание контрольной работы включает 3 задачи.
Контрольная работа
Задание контрольной работы включает 2 задачи
Итоговая контрольная работа
Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос
Итоговая контрольная работа
Задание содержит 2 задачи и 1 теоретический вопрос

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 2 модуль
0.6 * Контрольная работа + 0.4 * Контрольная работа
2021/2022 учебный год 4 модуль
0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Контрольная работа

Программа дисциплины