Бакалавриат
2022/2023
Научно-исследовательский семинар "Механика"
Статус:
Курс по выбору (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Охват аудитории:
для своего кампуса
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
104
Программа дисциплины
Аннотация
В курсе механики студенты познакомятся с математическими основами одной из важнейших областей физики - классической механики. На примере простых и фундаментальных моделей будут объяснены принципы лагранжева и гамильтонова подхода в теоретической механике и продемонстрированы приложения современного математического аппарата: вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки пригодятся в дальнейшем при освоении курсов вариационного исчисления и гамильтоновой механики, дифференциальной геометрии и классической теории поля, квантовой механики и квантовой теории поля.
Цель освоения дисциплины
- Познакомить студентов с принципами построения математических моделей физических явлений на примере механических систем с конечным числом степеней свободы. Выработать практические навыки обращения с математическим аппаратом теоретической механики: уравнениями Эйлера-Лагранжа и уравнениями Гамильтона; основами вариационного исчисления и принципом наименьшего действия; методами исследования симметрий физических моделей и теоремой Э. Нётер; пуассоновыми структурами.
Планируемые результаты обучения
- - Умение строить простейшие механические модели, определять число степеней свободы, структуру конфигурационного пространства, выписывать уравнения движения
- Получение практического навыка вычисления скобок Пуассона различных физических величин, умение находить ограничение вырожденных скобок на симплектические листы, умение выполнять канонические преобразования по заданной производящей функции.
- Решение уравнения Ньютона для одномерной системы через закон сохранения энергии, умение строить и анализировать качественный фазовый портрет одномерной механической системы.
- Умение находить вариацию действия системы и недостающие граничные условия, умение находить симметрии действия и строить по ним Нетеровские интегралы движения
- Умение находить группу симметрий по интегралам движения, умение вычислять инфинитезимальные преобразования наблюдаемых под действием группы симметрий.
- Умение переходить к криволинейным координатам (цилиндрическим и полярным), находить траектории движения в Ньютоновом гравитационном потенциале, умение выводить законы Кеплера
- Умение строить гамильтониан системы, находить и решать гамильтоновы уравнения движения.
- Умение строить лагранжиан данной механической модели, выписывать уравнения Эйлера-Лагранжа, находить простейшие законы сохранения по циклическим координатам, строить энергию системы
Содержание учебной дисциплины
- Основные понятия классической ньютоновской механики.
- Одномерные системы
- Движение в центральном поле
- Принцип Даламбера. Уравнения Эйлера-Лагранжа
- Вариационные методы. Принцип наименьшего действия и теорема Нетер
- Гамильтонов формализм.
- Скобки Пуассона и канонические преобразования
- Законы сохранения в гамильтоновом формализме.
Элементы контроля
- Домашнее заданиедомашнее задание дается студентам на 2 недели, содержит задачи к текущей теме семинаров-лекций
- Контрольная работа
- "5-минутки"Небольшая контрольная работа в конце каждого второго семинара длительностью примерно 10-15 минут. Охватывает материал последнего (возможно и предпоследнего) семинара. Проверяется в течение недели, разбирается в начале следующего семинара. Стимулирует вовлечение студентов в активную работу на семинарах и контакт преподавателя со студентами.
Промежуточная аттестация
- 2022/2023 учебный год 4 модульНакопленная в течение семестра оценка O-накоп рассчитывается по формуле O-накоп = 0.4O-5мин + 0.3(O-кр + O-дз) Здесь O-5мин, O-кр и O-дз - итоговые оценки за 5-минутки, контрольные работы и домашние задания, соответственно. Все оценки округляются до сотых по стандартному правилу. Если O-накоп больше или равна 8 баллам, то студент имеет право получить итоговую оценку за курс O-итог = О-накоп, округленная до целых по стандартному правилу. Если O-накоп < 8, то студент сдает письменный экзамен, и его итоговая оценка вычисляется по правилу O-итог = 0.25 O-5мин + 0.15 O-дз + 0.3(O-кр + O-экз), где О-экз - оценка за экзамен, рассчитываемая по 10-балльной шкале, ы вычисляемая как сумма оценок, полученных за решения задач на экзамене. Сумма вычисляется с точностью до десятых. Если О-итог<4 баллов, то она округляется до ближайшего меньшего целого числа (оценка за курс неудовлетворительная). Если О-итог больше или равна 4, то она округляется до целых по станлартному правилу.
