Кто читает:: Департамент больших данных и информационного поиска

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 3-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Лиджиев Тимур Ратмирович

Тараканов Александр Александрович

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Курс знакомит студентов с современными численными методами, применяемыми в научных вычислениях, анализе данных и машинном обучении. Студенты изучат методы численной линейной алгебры, решения нелинейных уравнений, интерполяции, оптимизации, дискретизации математических моделей, статистического моделирования и решения обратных задач. На практических занятиях студенты будут реализовывать и сравнивать алгоритмы, исследовать их точность, устойчивость и вычислительную эффективность. Курс научит обоснованно выбирать численные методы и применять их для решения прикладных задач.

Цель освоения дисциплины

Уметь формализовать прикладную задачу и обоснованно выбирать подходящий численный метод.
Уметь применять прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений, а также методы вычисления собственных значений и собственных векторов.
Уметь применять и сравнивать численные методы решения нелинейных уравнений и систем.
Уметь использовать методы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования.
нать основы проекционных методов, слабых постановок, метода Галёркина и численной дискретизации математических моделей.

Планируемые результаты обучения

Решает системы линейных уравнений прямыми и итерационными методами, вычисляет собственные значения и собственные векторы матриц.
Решает нелинейные уравнения и системы, применяет методы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования.
Применяет методы численной оптимизации, решения ОДУ, дискретизации краевых задач и метод Галёркина.
Разрабатывает физически-информированные нейронные сети и сравнивает их с классическими численными методами.
Оценивает интегралы и математические ожидания методами Монте-Карло и квази-Монте-Карло, строит и диагностирует MCMC-алгоритмы.
Решает обратные задачи, применяет регуляризацию, проводит анализ чувствительности и оценивает неопределённость полученных результатов.

Содержание учебной дисциплины

Прямые методы численной линейной алгебры**: метод Гаусса, выбор главного элемента, LU- и Cholesky-разложения, QR-разложение, обусловленность и оценка погрешности
Итерационные методы решения СЛАУ**: методы Якоби и Гаусса–Зейделя, сходимость, спектральный радиус, методы сопряжённых градиентов и GMRES, предобуславливание
Численные методы решения задач на собственные значения и собственные векторы**: степенной метод, обратная итерация, сдвиг, отношение Рэлея, QR-алгоритм, методы Ланцоша и Арнольди
Численное решение нелинейных уравнений и систем**: бисекция, метод Ньютона, секущие, многомерный метод Ньютона, квазиньютоновские методы, локальная сходимость
Интерполяция и приближение функций**: полиномы Лагранжа и Ньютона, разделённые разности, феномен Рунге, сплайны, выбор узлов
Численное дифференцирование и интегрирование: конечные разности, автоматическое дифференцирование, квадратурные формулы Ньютона–Котеса и Гаусса, адаптивное интегрирование
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Численная дискретизация краевых задач и уравнений в частных производных
Численная оптимизация и непрерывная динамика
Физически-информированные нейронные сети (PINNs)
Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло
Цепи Маркова и алгоритм Метрополиса—Гастингса
Современные MCMC-методы: градиентные и несмещённые алгоритмы
Обратные задачи, регуляризация и количественная оценка неопределённости

Элементы контроля

Домашнее задание 1
Выдается после 2 лекции. Код сдается после 9 лекции. Презентация примерно через неделю после сдачи кода.
Домашнее задание 2
Выдается после 9 лекции. Код сдается после 14 лекции. Презентация примерно через неделю после сдачи кода.
Квиз
Проводится примерно каждый второй семинар.

Промежуточная аттестация

2026/2027 2nd module
Итог = Округление(0.25 * ДЗ_1 + 0.55 * ДЗ_2 + 0.2 * КВИЗ), где ДЗ_1 — оценка за Домашнюю Работу 1, ДЗ_2 - оценка за Домашнюю Работу 2. Округление арифметическое, КВИЗ - средняя оценка по половине лучших квизов.

Список литературы

Авторы

Ахмедова Гюнай Интигам кызы

Бакалаврская программа «Компьютерные науки и анализ данных»

Численные методы

Преподаватели

Программа дисциплины