Анализ на многообразиях

2026/2027

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

5

Кредиты

Кто читает:

Факультет математики

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Басалаев Алексей Андреевич

Вьюгин Илья Владимирович

Гусейн-Заде Сабир Меджидович

Медведев Владимир Олегович

Побережный Владимир Андреевич

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён анализу на многообразиях и элементам дифференциальной топологии. Сюда включаются: тензорный анализ на многообразиях, дифференциальные формы и интегрирование, лемма Сарда и трансверсальность, интегрируемость распределний.

Цель освоения дисциплины

• Освоение студентами методов анализа на многообразиях и элементов дифференциальной топологии.

Планируемые результаты обучения

• Умение использовать методы анализа на многообразиях и элементов дифференциальной топологии.

Содержание учебной дисциплины

• Подмногообразия аффинного пространства, многообразия, касательное пространство.
• Векторные поля и однопараметрические группы диффеоморфизмов. Разбиение единицы.
• Риманова метрика, объем. Интеграл первого рода.
• Тензоры на многообразиях. Дифференциальные формы.
• Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.
• Степень отображения.
• Когомологии де Рама. Их гомотопическая инвариантность.
• Лемма Сарда. Трансверсальность.
• Производная Ли тензорных полей.
• Распределения векторных подпространств, интегрируемость распределений (теорема Фробениуса).

Элементы контроля

• Домашние работы
  Домашние работы задаются постоянно, на протяжении всего курса. Домашние работы сдаются только физически (офлайн), написанные от руки. 2-3 раза производится выборочная проверка понимания написанного (в случае отрицательного результата зачёт домашних работ может быть аннулирован).
• Контрольная работа
• Коллоквиум 1
  Коллоквиум 1 проводится после первого модуля
• Коллоквиум 2

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.4 * Коллоквиум 2 + 0.1 * Домашние работы + 0.3 * Коллоквиум 1 + 0.2 * Контрольная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля : учебное пособие / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. — Москва : МЦНМО, 2005. — 584 с. — ISBN 978-5-94057-102-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9379 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Спивак, М. Математический анализ на многообразиях : учебное пособие / М. Спивак. — 2-е изд. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 160 с. — ISBN 5-8114-0646-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/210152 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сандракова, Е. В.  Дифференциальные формы на гладких многообразиях : учебник для вузов / Е. В. Сандракова, Е. В. Сумин. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 138 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-10988-7. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/565616 (дата обращения: 02.07.2026).
• Шильников, К. Е. Геометрические методы в математической физике. Начала анализа на многообразиях: Конспект лекций : учебное пособие / К. Е. Шильников. — Москва : НИЯУ МИФИ, 2020. — 92 с. — ISBN 978-5-7262-2704-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/175428 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Гусейн-Заде Сабир Меджидович