• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Математический анализ

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Математика)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 2-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен 1) знакомству с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега и связанными с интегралом Лебега концепциями теории функции действительного переменного (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации, интеграл Лебега-Стилтьеса) и 2) знакомству с рядами и преобразованием Фурье, а также с основами теории обобщенных функций.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега.
  • Знакомство с рядами и преобразованием Фурье и их свойствами и применениями, а также с основами теории обобщенных функций.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • знакомство с основными понятиями, конструкциями и результатами теории меры и интеграла Лебега
  • Знакомство с Евклидовым пространством, ортогональными базисами и процессом ортогонализации.
  • Знакомство с неравенством Бесселя, замкнутыми ортогональными системы и равенством Парсеваля.
  • Знакомство с гилбертовыми пространствами
  • Знакомство с пространствами L1 и L2
  • Различные типы сходимости
  • Знакомство с рядами Фурье. Свойства и применение
  • Знакомство с обобщенными функциями и действиям с ними
  • Знакомство с задачами Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций
  • Применение интеграла Фурье
  • Преобразования Фурье. Свойства и применение
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Меры, мера Лебега
  • Измеримые функции, сходимость по мере
  • Интеграл Лебега
  • Теория дифференцирования (абсолютно непрерывные функции, функции ограниченной вариации)
  • Нормированные и банаховы пространства. Примеры.
  • Евклидово пространство. Ортогональные базисы. Процесс ортогонализации.
  • Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
  • Вещественный и комплексные гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме.
  • Пространства L1 и L2. Теоремы о полноте этих пространства.
  • Различные типы сходимости: равномерная, в среднем, почти всюду, по мере.
  • Ортогональные системы функций в L2. Тригонометрические ряды Фурье.
  • Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряды Фурье в n-мерном пространстве.
  • Условия сходимости ряда Фурье в точке. Интеграл Дирихле. Условие Дини.
  • Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера.
  • Полнота тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса.
  • Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов ряда Фурье.
  • Применение рядов Фурье. Изопериметрическое неравенство. Метод Фурье разделения переменных.
  • Решение методом Фурье одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.
  • Решение методом Фурье уравнения упругих колебаний струны.
  • Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Полнота системы собственных функций.
  • Интеграл Фурье. Теорема об обращении. Интеграл Фурье в комплексной форме.
  • Преобразование Фурье в пространстве L1(R).
  • Преобразование Фурье в пространстве Шварца и его свойства. Свертка функций.
  • Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности в R^1. Формула Пуассона.
  • Решение уравнения теплопроводности в R^n. Решение уравнения упругих колебаний бесконечной струны с помощью преобразования Фурье.
  • Преобразование Фурье свертки функций. Преобразование Фурье в пространстве L2(R). Теорема Планшереля.
  • Обобщенные функции и действия с ними.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Экзамен
  • неблокирующий Сдача листков
  • неблокирующий Работа на семинарах
    Активно только в 1 семестре (модули 1 и 2)
  • неблокирующий Экзамен
  • неблокирующий Сдача листков
  • неблокирующий Работа на семинарах
  • неблокирующий Контрольная работа #1
    Активно только во 2 семестре (3, 4 модули)
  • неблокирующий Контрольная работа #2
    Активно только во 2 семестре (3 и 4 модули)
  • неблокирующий Контрольная работа #3
    Активно только во 2 семестре (3 и 4 модули)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. Оценка за семинары выставляется семинаристом на основании активности работы на семинарах и результатов проведенных контрольных работ.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Итоговая оценка за работу в 4 семестре (накопленная оценка). Оценка за контрольные работы равняется • если хотя бы по одной из первых двух контрольных получена положительная оценка (не менее 4 баллов): средней по всем формам текущего контроля, то есть по всем написанным контрольным работам, с округлением до целого числа баллов; • если по каждой из первых двух контрольных не получено положительной (не менее 4 баллов) оценке: оценке за третью контрольную работу, уменьшенной на 2 балла, но не более 7 баллов. Итоговая оценка за работу в 4 семестре при условии выполнения критерия сформированности компетенций равна оценке за контрольные работы, увеличенной • на 1 балл, если оценка за домашние задания не меньше 5 и не больше 8 балло, • или на 2 балла, если оенка за домашние задания 9 или 10 баллов, но не более 8 баллов. Если критерий сформированности компетенций не выполнен, накопленная оценка принимается равной нулю. Итоговая оценка за 4 семестр Если накопленная оценка не превышает 6 баллов, то итоговая оценка выставляется только по результатам текущего контроля в течение семестра и равна накопленной оценке. Если накопленная оценка 7 баллов и выше, то обучающийся может по желанию либо получить итоговую оценку, равную накопленной (в пределах 8 баллов) без сдачи экзамена, либо сдать экзамен. В последнем случае в качестве итоговой оценки выставляется оценка за экзамен, независимо от накопленной оценки. Для получения итоговой оценки 9 или 10 на экзамене кроме ответа на теоретические вопросы необходимо решить 1 или 2 задачи. Критерии сформированности компетенций (минимальные требования для получения положительной итоговой оценки) Компетенции сформированы, если обучающийся - получил оценки не ниже 4 баллов по 10-балльной шкале за любые две из написанных контрольных работ, либо - получил оценку не ниже 6 баллов за третью контрольную работу.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Краткий курс функционального анализа : учеб. пособие, Люстерник, Л. А., Соболев, В. И., 2009