Математический анализ 2

2026/2027

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

3

Кредиты

Кто читает:

Департамент больших данных и информационного поиска

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Зароднюк Алёна Владимировна

Кухарчук Иван Андреевич

Платонова Ксения Сергеевна

Радомский Артем Олегович

Ретинский Максим Романович

Ряжапов Айдар Хамзаевич

Чанга Марис Евгеньевич

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина представляет из себя стандартный курс математического анализа 2-го года, ориентированный на студентов, специализирующихся в прикладной математике. Курс содержит числовые ряды, функциональные ряды, кратные интегралы. В рамках данного курса студенты так же познакомятся с рядами Фурье и преобразованием Фурье, которое смогут изучить более подробно в последующих курсах.

Цель освоения дисциплины

• Знать основы теории рядов, кратного интегрирования, криволинейных и поверхностных интегралов, рядов и преобразования Фурье.
• Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
• Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
• Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности
• Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства

Планируемые результаты обучения

• Уметь практически применять навыки работы с числовыми и функциональными рядами (включая ряды Тейлора и Фурье, производящие функции), кратными, криволинейными и поверхностными интегралами, преобразованием Фурье.
• Уметь решать задачи математического анализа численными методами (приближенное вычисление кратных интегралов, оценка скорости сходимости рядов и интегралов, метод градиентного спуска).
• Уметь самостоятельно решать нестандартные задачи повышенной сложности
• Уметь строить логические цепочки и строгие математические доказательства

Содержание учебной дисциплины

• Кратный интеграл Римана, необходимое условие интегрируемости, свойства интеграла.
• Множество лебеговой меры нуль. Свойства множеств лебеговой меры нуль.
• Топология R^n, критерий компактности в R^n.
• Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте. Колебания функции на множестве и в точке. Теорема Кантора-Гейне о колебаниях функции на компакте. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
• Критерий Лебега (продолжение). Верхние и нижние суммы Дарбу, свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, теорема об интегралах как пределах сумм Дарбу. Критерий Дарбу. Допустимые множества, интеграл по допустимому множеству.
• Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по допустимым множествам. Теоремы Фубини для бруска и для допустимого множества. Формула замены переменных в кратном интеграле Римана.
• Равномерная сходимость функционального ряда: Критерий Коши, теоремы о предельном переходе, о непрерывности/интегрируемости/дифференцируемости суммы ряда.
• Теоремы о интегрируемости/дифференцируемости предельной функции.
• Равномерная сходимость функционального ряда.
• Степенные ряды, теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд, табличные разложения.
• Евклидовые и нормированные пространства. Основная тригонометрическая система.
• Ряды Фурье, экстремальное свойство коэффициентов Фурье
• Полные системы. Критерий полноты ОНС, равенство Парсеваля.
• Полнота основной тригонометрической системы. Ядро Дирихле, ядро Фейера, частичная сумма ряда Фурье по Чезаро.
• Теорема Фейера о равномерной сходимости частичных сумм по Чезаро. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
• Лемма Римана.
• Ряды Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье и его свойства.

Элементы контроля

• Домашнее задание
  Выдается раз в неделю и содержит 4-7 задач по теме Семинара.
• Лабораторная работа
  Оценивается решение задач. Оценка приводится к 10–бальной шкале.
• Коллоквиум 1
  Проходит в устной форме, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами, студенту дают 30-40 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. Тема: интеграл Римана, кратные интегралы, числовые и функциональные ряды, степенные ряды
• Листки с дополнительными задачами
  Выдается 1-2 листка с задачам и сверх пройденного материала для дополнительного развития студентов
• Экзамен
  Экзамен проходит в письменной форме в аудитории (дистанционно для студентов, официально проходящих курс онлайн), пользоваться какими-либо материалами запрещено, длится 120 минут. Всего 5-6 задач.
• Контрольная работа
  Проводится в письменном виде, всего 5-6 задач.
• Коллоквиум 2
  Проходит в письменной форме в виде теоретической контрольной работы, студенту выдают билет с несколькими теоретическими вопросами и задачами, студенту дают 80 минут на подготовку, пользоваться какими-либо материалами запрещено. Тема: Теория тригонометрических рядов Фурье.
• Самостоятельная работа
  Проводится в письменном виде, всего 3-4 задачи в каждой СР.

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  Итог = min(Округление(0.12 * СР + 0.15*КЛ1+0,15*КЛ2 + 0.2 * КР+0.02*Л+0.12*Лаб + 0.35 * Э), 10) где СР = min (10; средняя оценка за все СР + О_сем), О_сем - дополнительный балл в размере 0, 0.3, 0.6 или 1, который семинарист может высставить студенту за активное участие в работе семинаров, КЛ1 - оценка за коллоквиум 1, КЛ2 - оценка за коллоквиум 2, КР — оценка за контрольную работу, Л - оценка за решение листков с дополнительными задачами, Лаб - оценка за лабороторную работу Э — оценка за экзамен.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учебное пособие для вузов / Б. П. Демидович. — 24-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 624 с. — ISBN 978-5-8114-9078-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/184105 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник : в 3 т. Том 2 / Г. М. Фихтенгольц ; под. ред. А. А. Флоринского. - 10-е изд. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2018. - 864 с. - ISBN 978-5-9221-1803. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1223545

Рекомендуемая дополнительная литература

• Введение в математический анализ. Практикум - Кузенков О. А., Рябова Е. А. - Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского - - - 2019 - русский - https://e.lanbook.com/book/144935 - ЛАНЬ - 144935
• Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. — 25-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2023. — 624 с. — ISBN 978-5-507-47148-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/332675 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009

Авторы

• Зароднюк Алёна Владимировна